§ Proprietățile divizibilității numerelor naturale
Rezolvă 1 | Rezolvă 2
Rezolvă! - 2
Da sau nu? Răspunde cu „DA” sau „NU”, apoi motivează răspunsul. Folosește proprietățile divizibilității numerelor naturale.
A. Fie 6 numere naturale, dintre care 5 impare și unul par.
a) Produsul lor este divizibil cu 2?
b) Suma lor este divizibilă cu 2?
Motivează răspunsul:
a) Unul dintre factorii produsului este număr par, deci divizibil cu 2; înseamnă că produsul este divizibil cu 2. Răspunsul la întrebare este „DA”.
b) Suma a două numere impare este număr par.
Suma celor cinci termeni numere impare este număr impar. Al șaselea termen este număr par, deci suma totală este număr impar, adică nu este divizibilă cu 2. Răspunsul este „NU”.
B. Fie 7 numere naturale, dintre care 3 pare, iar restul impare.
a) Produsul lor este divizibil cu 2?
b) Produsul lor este divizibil cu 4?
c) Produsul lor este divizibil cu 8?
d) Suma lor este divizibilă cu 2?
Motivează răspunsul:
a) Răspunsul este „DA”. Deoarece unul dintre factori este număr par, rezultă că produsul este număr par, adică divizibil cu 2.
b) Doi dintre factori sunt numere pare, adică sunt de forma \({2m}\) și \({2n}\); produsul lor este \({2m \cdot 2n = 4mn}\). Rezultă că produsul celor 7 numere este divizibil cu 4. Răspunsul este „DA”.
c) Trei dintre factori sunt numere pare, adică sunt de forma \({2m}\), \({2n}\) și \({2p}\); produsul lor este \({2m \cdot 2n \cdot 2p = 8mn}\). Rezultă că produsul celor 7 numere este divizibil cu 8. Răspunsul este „DA”.
d) Suma are 7 termeni, dintre care 3 sunt numere pare, iar 4 termeni sunt numere impare.
Adunând termenii care sunt numere pare, obținem un număr par.
Avem 4 termeni numere impare. Deoarece 4 este număr par, rezultă că, adunând termenii care sunt numere impare, obținem un număr par.
Suma a două numere pare este un număr par, deci divizibil cu 2; răspunsul este „DA”.
C. Produsul a două numere prime poate fi divizibil cu 2?
Motivează răspunsul:
Numărul 2 este singurul număr natural care este și prim, și par. Rezultă că produsul a două numere prime este divizibil cu 2 dacă unul dintre numere este 2. Răspunsul este „DA”.
D. Dacă suma a cinci numere naturale este divizibilă cu 12, atunci termenii sumei sunt divizibili cu 12?
Motivează răspunsul:
Dacă o sumă este divizibilă cu un număr, nu înseamnă că termenii ei sunt divizibili cu acel număr. De exemplu, 24 este divizibil cu 12, dar dacă-l scriem pe 24 ca o sumă cu termenii 5, 9, 7, 1 și 2, observăm că aceștia nu sunt divizibili cu 12. Rezultă că răspunsul la întrebare este „NU”.
* * *
BONUS. Se consideră numerele \({\overline{abc}}\), \({\overline{bca}}\) și \({\overline{cab}}\), unde \({a, b, c \neq 0}\).
Scrieți în ordine crescătoare trei divizori diferiți de 1 ai sumei acestor numere.
Motivează răspunsul:
Notăm cu S suma numerelor \({\overline{abc}}\), \({\overline{bca}}\) și \({\overline{cab}}\).
\({S = }\)\({\overline{abc}}\) \({+}\) \({\overline{bca}}\) \({+}\) \({\overline{cab}}\)
Atunci când avem un număr scris sub forma \({\overline{abc}}\), ne amintim descompunerea în sumă de produse a unui număr natural:
\({\overline{abc}}\) \({= 100a + 10b+ c}\)
\({\overline{bca}}\) \({= 100b + 10c+ a}\)
\({\overline{cab}}\) \({= 100c + 10a+ b}\)
Obținem că:
\({S =\textcolor{violet}{100a} + \textcolor{purple}{10b}+ \textcolor{blue}{c} + \textcolor{violet}{100b} + \textcolor{purple}{10c}+ \textcolor{blue}{a} + \textcolor{violet}{100c} + \textcolor{purple}{10a}+ \textcolor{blue}{b}}\)
\({=100(a+b+c) + 10(a+b+ c) + a+b+c}\)
Dăm factor comun pe \({a+b+c}\):
\({S=(a+b+c)(100+10+1)}\)
\({=111(a+b+c) }\)
Suma \({S }\) este divizibilă cu 111 și cu orice divizor al lui 111. Să vedem care sunt divizorii lui 111: suma cifrelor este 3 (1 plus 1 plus 1), deci 111 este divizibil cu 3. Împărțim pe 111 la 3 și obținem câtul 37.
Rezultă că 3, 37 și 111 sunt divizori și ai sumei S (aceștia sunt divizorii care ni se cer).
Rezolvă 1 | Rezolvă 2
Dacă vreți să susțineți funcționarea și dezvoltarea mathema.ro, puteți contribui prin donație. Aceasta nu elimină reclamele existente, dar îmi permite să accelerez dezvoltarea website-ului și să acopăr costurile de funcționare.
Nume titular: GEORGIU LIVIA-NICOLETA
IBAN: RO20BTRLRONCRT0287588001
SWIFT: BTRLRO22
Mulțumesc! ❤️