Memorator Algebră

clasele 5 - 8

≡ Memorator Algebră

∎ Proprietățile divizibilității numerelor naturale

Exersează! - 2

A. Fără a efectua calculele, completează fiecare casetă cu un divizor propriu al numărului dat, astfel încât să obții afirmații adevărate. Folosește proprietățile divizibilității.

a) numărul \({25 \cdot 17 }\) este divizibil cu

b) numărul \({18 + 20 }\) este divizibil cu

c) numărul \({21 + 24 + 15 }\) este divizibil cu

d) numărul \({2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 }\) este divizibil cu

B. Completează casetele astfel încât să obții afirmații adevărate:

a) numărul \({32 \; +}\) este divizibil cu 4

b) numărul \({2010 \; + \; 430 \; +}\) nu este divizibil cu 10

c) numărul \({5 \; \cdot \; 36 \; \cdot}\) este divizibil cu 9

d) numărul \({27 \; \cdot \; 30 \; \cdot 11 \; \cdot}\) este divizibil cu 4

Arată rezolvarea

produsul este divizibil cu orice factor al său și cu orice divizor al factorilor săi
suma este divizibilă cu orice divizor comun al termenilor săi (pe care îl putem da factor comun, ajungând astfel la un produs)
divizorii proprii ai unui număr sunt cei diferiți de 1 și de numărul însuși

a) numărul \({25 \cdot 17 }\) este divizibil cu 5 sau 25 sau 17

25 este divizibil cu 5 și cu 25
17 este divizibil cu 17
numărul \({25 \cdot 17 }\) este divizibil cu 5, 25 și 17 (divizori proprii)

b) numărul \({18 + 20 }\) este divizibil cu 2

divizorii lui 18 sunt 1, 2, 3, 6, 18
divizorii lui 20 sunt 1, 2, 4, 5, 10, 20
2 este divizor comun al lui 18 și 20 (altul decât 1)
numărul \({18+20}\) este divizibil cu 2 (divizor propriu)

c) numărul \({21+24+15 }\) este divizibil cu 3

divizorii lui 21 sunt 1, 3, 7, 21
divizorii lui 24 sunt 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
divizorii lui 15 sunt 1, 3, 5, 15
3 este divizor comun (altul decât 1)
numărul \({21+24+15}\) este divizibil cu 3 (divizor propriu)

dacă am efectua suma, am obține \({21+24+15=60}\), care are și alți divizori, dar enunțul ne cere să folosim proprietățile divizibilității

d) numărul \({2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 }\) este divizibil cu 2 sau 3 sau 4 sau 5

produsul este divizibil cu factorii lui; în acest caz, e divizibil cu 2, 3, 4, și 5
2, 3 și 5 sunt numere prime
4 are ca divizori pe 2 (este factor al produsului) și 4

a) numărul \({32 \; +}\) orice multiplu de 4 este divizibil cu 4

suma este divizibilă cu 4
suma are doi termeni, dintre care unul este divizibil cu 4 (32 este divizibil cu 4)
rezultă că și celălalt termen trebuie să fie divizibil cu 4; astfel, putem completa caseta cu 0, 4, 8, 12, 16 etc.

b) numărul \({2010 \; + \; 430 \; +}\) orice număr care nu e divizibil cu 10 nu este divizibil cu 10

orice număr care are ultima cifră egală cu 0 este divizibil cu 10
suma nu este divizibilă cu 10
suma are trei termeni, dintre care doi sunt divizibili cu 10 (2010 și 430 sunt divizibili cu 10)
înseamnă că al treilea termen trebuie să nu fie divizibil cu 10, adică să nu aibă ultima cifră egală cu 0; putem completa caseta cu 1, 134, 2, 78 etc.

c) numărul \({5 \; \cdot \; 36 \; \cdot}\) orice număr este divizibil cu 9

produsul este divizibil cu orice factor al său și cu orice divizor al factorilor săi
unul dintre factorii produsului este 36, care e divizibil cu 9
înseamnă că orice număr vom scrie în casetă, produsul va fi divizibil cu 9

d) numărul \({27 \; \cdot \; 30 \; \cdot 11 \; \cdot}\) orice număr divizibil cu 2 este divizibil cu 4

dacă un număr poate fi scris ca un produs în care unul dintre factori este 4, atunci numărul este divizibil cu 4
dacă un produs are doi factori numere pare, atunci produsul este divizibil cu 4
unul dintre factorii produsului dat este 30, care poate fi scris ca 2 înmulțit cu 15; însemană că, dacă vom completa caseta cu un număr par, atunci tot produsul va fi divizibil cu 4
de exemplu, \({27 \; \cdot \; 30 \; \cdot 11 \; \cdot}\) 24 este egal cu \({27 \; \cdot \; \underbrace{\textcolor{RedOrange}{2} \; \cdot \; 15 }_{=30} \; \cdot \; 11 \; \cdot \; \underbrace{\textcolor{RedOrange}{2} \; \cdot \; 12 }_{=24}}\), adică \({27 \; \cdot \; \textcolor{RedOrange}{4} \; \cdot \; 15 \; \cdot \; 11 \; \cdot \; 12}\), care este divizibil cu 4 pentru că unul dintre factori este chiar 4

dacă un număr \({a }\) divide două sau mai multe numere, atunci \({a }\) divide și suma numerelor respective;
altfel spus, dacă termenii unei sume sunt divizibili cu numărul \({a }\), atunci suma este divizibilă cu numărul \({a }\);

invers nu este adevărat: dacă suma este divizibilă cu un număr, nu înseamnă că termenii sumei sunt divizibili cu acel număr (de exemplu: \({12}\) este divizibil cu \({3}\); scriem numărul \({12}\) ca sumă de doi termeni \({12 = 7 + 5 }\); termenii \({7}\) și \({5}\) nu sunt divizibili cu \({3}\));
dacă nici unul dintre termenii unei sume nu este divizibil cu un număr, atunci suma poate sau nu să fie divizibilă cu acel număr; de exemplu, 5 și 7 nu sunt divizibili cu 2, dar suma lor este divizibilă cu 2;
dacă un termen al sumei nu este divizibil cu un număr, iar toți ceilalți termeni sunt divizibili cu acel număr, atunci suma termenilor nu este divizibilă cu acel număr; de exemplu, numerele 3, 6 și 9 sunt divizibile cu 3; numărul 5 nu este divizibil cu 3; suma \({3+6+9+5 =23}\) nu este divizibilă cu 3;

dacă unul dintre factorii unui produs este divizibil cu numărul \({a }\), atunci produsul este divizibil cu numărul \({a }\).

invers nu este adevărat: dacă produsul este divizibil cu un număr, nu înseamnă că factorii sunt divizibili cu acel număr (de exemplu: \({12}\) este divizibil cu \({3}\); scriem numărul \({12}\) ca produs de doi factori \({12 = 2 \cdot 6 }\); factorul \({2}\) nu este divizibil cu \({3}\));

Exersează 1 | Exersează 2 | Exersează 3 | Exersează 4 | Exersează 5

⮜ Probabilități

Sistem de axe ortogonale ⮞