Memorator Algebră

clasele 5 - 8














Descompunerea în factori a unei expresii algebrice

A descompune în factori o expresie algebrică înseamnă a scrie expresia respectivă sub forma unui produs de doi sau mai mulți factori.

  • dăm factor comun

  • \({ab + ac = a(b + c)}\)

    \({ab - ac = a(b - c)}\)


    \({2(y - 3) - 3x(y - 3) = (y - 3)(2 - 3x)}\)

    \({2x^2 + 6xy + 4x = 2x(x + 6y + 2)}\)





  • folosim formule de calcul prescurtat

  • \({a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2}\)

    \({a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)}\)


    \({4x^2 -12xy + 9y^2 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 3y + (3y)^2}\)

    \({4x^2 -12xy + 9y^2}\) \({= (2x - 3y)^2}\)


    \({16x^4 - 3y^2 = (4x^2)^2 - (\sqrt{3}y)^2}\)

    \({16x^4 - 3y^2}\) \({= (4x^2 - \sqrt{3}y)(4x^2 + \sqrt{3}y)}\)


  • grupăm termenii

  • \({\underline{x^2} + \underline{\underline{3x}} + \underline{xy} + \underline{\underline{3y}} = x(x + y) + 3(x + y)}\)

    \({x^2 + 3x + xy + 3y}\) \({= (x + y)(x + 3)}\)


    ★ uneori este nevoie ca unii termeni să fie scriși ca sumă sau diferență de doi sau mai mulți termeni

    \({x^2 + 8x + 15 = \underline{x^2} + \underline{3x} + \underline{\underline{5x}} + \underline{\underline{15}} }\)

    \({x^2 + 8x + 15}\) \({= x(x + 3) + 5(x + 3)}\)

    \({x^2 + 8x + 15}\) \({= (x + 3)(x + 5)}\)


  • metode combinate

  • \({x^2 - \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 2}x + \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} = }\)

    • scriem pe \({x^2 - \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 2}x }\) ca diferență de pătrate

    • vrem să folosim formula \({(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2}\); evidențiem produsul \({-2ab}\) și apoi identificăm termenul care lipsește

      \({x^2 - \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 2}x = x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 4}}\)

      lipsește \({\left(\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 4}\right)^2}\); îl adunăm (pentru a putea aplica formula) și îl scădem (pentru a nu modifica valoarea expresiei)

      \({x^2 - \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 2}x = x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 4} + \left(\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 4}\right)^2 - \left(\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 4}\right)^2}\)

      \({x^2 - \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 2}x}\) \({= \left(x - \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 4}\right)^2 - \left(\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 4}\right)^2}\)

    • înlocuim în expresia inițială

    • \({x^2 - \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 2}x + \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} = \left(x - \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 4}\right)^2 - \left(\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 4}\right)^2 + \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}}\)

      \({x^2 - \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 2}x + \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}}\) \({= \left(x - \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 4}\right)^2 - \frac{\displaystyle 9}{\displaystyle 16} + \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}}\)

      \({x^2 - \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 2}x + \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}}\) \({= \left(x - \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 4}\right)^2 - \frac{\displaystyle 9}{\displaystyle 16} + \frac{\displaystyle 8}{\displaystyle 16}}\)

      \({x^2 - \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 2}x + \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}}\) \({= \left(x - \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 4}\right)^2 - \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 16}}\)

      \({x^2 - \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 2}x + \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}}\) \({= \left(x - \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 4}\right)^2 - \left(\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4}\right)^2}\)

      \({x^2 - \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 2}x + \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}}\) \({= \left(x - \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 4} - \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4}\right)\left(x - \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 4} + \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4}\right) }\)

      \({x^2 - \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 2}x + \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}}\) \({= (x - 1)\left(x - \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 4}\right)}\)

      \({x^2 - \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 2}x + \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}}\) \({= (x - 1)\left(x - \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}\right)}\)