Memorator Algebră

clasele 5 - 8













Raționalizarea numitorului de forma \({a\sqrt{b}}\)

Raționalizarea numitorului - partea a doua - numitorul este de forma \({a \pm \sqrt{b}}\), \({\sqrt{a} \pm \sqrt{b}}\)

Dacă o fracție are numitorul de forma \({a\sqrt{b}}\), atunci, amplificând fracția cu \({\sqrt{b}}\), obținem o fracție echivalentă și care are numitorul număr rațional (dispare radicalul de la numitor). Această operație poartă numele de raționalizarea numitorului.

Folosim raționalizarea numitorului pentru a avea calcule mai simple.

  • \({\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \sqrt{b}} = \frac{\displaystyle \sqrt{b}}{\displaystyle b}}\)

  • \({\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle a\sqrt{b}} = \frac{\displaystyle \sqrt{b}}{\displaystyle ab}}\)

  • \({\frac{\displaystyle x}{\displaystyle \sqrt{b}} = \frac{\displaystyle x\sqrt{b}}{\displaystyle b}}\)

  • \({\frac{\displaystyle x}{\displaystyle a\sqrt{b}} = \frac{\displaystyle x\sqrt{b}}{\displaystyle ab}}\)





! Numărul \({a}\) este liber de pătrate dacă nu se mai pot scoate factori de sub \({\sqrt{a}}\).

Altfel spus, numărul \({a}\) este liber de pătrate dacă nu este divizibil cu niciun pătrat perfect diferit de 1.

De exemplu, 8 nu este liber de pătrate, pentru că putem să scoate factori de sub radical: \({\sqrt{8} = \sqrt{2^3} = 2\sqrt{2}}\) (8 este divizibil cu 4, iar 4 este pătrat perfect).

Numerele 2, 3, 5, 7, 10, 15, 21 sunt libere de pătrate pentru că nu sunt divizibile cu alte pătrate perfecte în afară de 1.


! Observații:

  • dacă sub radical avem un număr care nu este liber de pătrate, atunci mai întâi scoatem factorii de sub radical, apoi raționalizăm numitorul;

  • dacă avem adunări sau scăderi, e mai ușor să raționalizăm numitorii înainte de a aduce fracțiile la același numitor;

  • e bine ca rezultatele finale ale calculelor să fie exprimate prin fracții cu numitorul rațional (dacă avem radical la numitor, să raționalizăm numitorul).




Exemple


\({\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 2\sqrt{15}} = }\)

\({= \frac{\displaystyle 3\sqrt{15}}{\displaystyle 2\sqrt{15} \cdot \sqrt{15}} }\)

\({= \frac{\displaystyle {\cancel{3}}\sqrt{15}}{\displaystyle 2 \cdot {\cancel{15}}_5}}\)

\({= \frac{\displaystyle \sqrt{15}}{\displaystyle 2 \cdot 5}}\)

\({= \frac{\displaystyle \sqrt{15}}{\displaystyle 10}}\)


\({\frac{\displaystyle 2\sqrt{3}}{\displaystyle \sqrt{5}} \cdot \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle \sqrt{6}} = }\)

\({= \frac{\displaystyle 2 {\cancel{\sqrt{3}}}}{\displaystyle \sqrt{5}} \cdot \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle \sqrt{2} \cdot {\cancel{\sqrt{3}}} }}\)

\({= \frac{\displaystyle 4}{\displaystyle \sqrt{10}}}\)

\({= \frac{\displaystyle {\cancel{4}}^2\sqrt{10}}{\displaystyle {\cancel{10}}_5}}\)

\({= \frac{\displaystyle 2\sqrt{10}}{\displaystyle 5}}\)


\({\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 3\sqrt{3}} + \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 2\sqrt{5}} = }\)

\({= \frac{\displaystyle 2\sqrt{3}}{\displaystyle 3 \cdot 3} + \frac{\displaystyle 3\sqrt{5}}{\displaystyle 2 \cdot 5}}\)

\({= \frac{\displaystyle 2\sqrt{3}}{\displaystyle 9} + \frac{\displaystyle 3\sqrt{5}}{\displaystyle 10}}\) (aducem la același numitor)

\({= \frac{\displaystyle 2 \cdot 10 \cdot \sqrt{3}}{\displaystyle 9 \cdot 10} + \frac{\displaystyle 3 \cdot 9 \cdot \sqrt{5} }{\displaystyle 9 \cdot 10}}\)

\({= \frac{\displaystyle 20\sqrt{3} + 27\sqrt{5}}{\displaystyle 90}}\)