facebook | mathema.romania@gmail.com
Memorator Algebră
clasele 5 - 8
∎ Raționalizarea numitorului de forma \({a\sqrt{b}}\)
Dacă o fracție are numitorul de forma \({a\sqrt{b}}\), atunci, amplificând fracția cu \({\sqrt{b}}\), obținem o fracție echivalentă și care are numitorul număr rațional (dispare radicalul de la numitor). Această operație poartă numele de raționalizarea numitorului.
Folosim raționalizarea numitorului pentru a avea calcule mai simple.
- \({\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \sqrt{b}} = \frac{\displaystyle \sqrt{b}}{\displaystyle b}}\)
- \({\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle a\sqrt{b}} = \frac{\displaystyle \sqrt{b}}{\displaystyle ab}}\)
- \({\frac{\displaystyle x}{\displaystyle \sqrt{b}} = \frac{\displaystyle x\sqrt{b}}{\displaystyle b}}\)
- \({\frac{\displaystyle x}{\displaystyle a\sqrt{b}} = \frac{\displaystyle x\sqrt{b}}{\displaystyle ab}}\)
! Numărul \({a}\) este liber de pătrate dacă nu se mai pot scoate factori de sub \({\sqrt{a}}\).
Altfel spus, numărul \({a}\) este liber de pătrate dacă nu este divizibil cu niciun pătrat perfect diferit de 1.
De exemplu, 8 nu este liber de pătrate, pentru că putem să scoate factori de sub radical: \({\sqrt{8} = \sqrt{2^3} = 2\sqrt{2}}\) (8 este divizibil cu 4, iar 4 este pătrat perfect).
Numerele 2, 3, 5, 7, 10, 15, 21 sunt libere de pătrate pentru că nu sunt divizibile cu alte pătrate perfecte în afară de 1.
! Observații:
- dacă sub radical avem un număr care nu este liber de pătrate, atunci mai întâi scoatem factorii de sub radical, apoi raționalizăm numitorul;
- dacă avem adunări sau scăderi, e mai ușor să raționalizăm numitorii înainte de a aduce fracțiile la același numitor;
- e bine ca rezultatele finale ale calculelor să fie exprimate prin fracții cu numitorul rațional (dacă avem radical la numitor, să raționalizăm numitorul).
★ Exemple
➺ \({\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 2\sqrt{15}} = }\)
\({= \frac{\displaystyle 3\sqrt{15}}{\displaystyle 2\sqrt{15} \cdot \sqrt{15}} }\)
\({= \frac{\displaystyle {\cancel{3}}\sqrt{15}}{\displaystyle 2 \cdot {\cancel{15}}_5}}\)
\({= \frac{\displaystyle \sqrt{15}}{\displaystyle 2 \cdot 5}}\)
\({= \frac{\displaystyle \sqrt{15}}{\displaystyle 10}}\)
➺ \({\frac{\displaystyle 2\sqrt{3}}{\displaystyle \sqrt{5}} \cdot \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle \sqrt{6}} = }\)
\({= \frac{\displaystyle 2 {\cancel{\sqrt{3}}}}{\displaystyle \sqrt{5}} \cdot \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle \sqrt{2} \cdot {\cancel{\sqrt{3}}} }}\)
\({= \frac{\displaystyle 4}{\displaystyle \sqrt{10}}}\)
\({= \frac{\displaystyle {\cancel{4}}^2\sqrt{10}}{\displaystyle {\cancel{10}}_5}}\)
\({= \frac{\displaystyle 2\sqrt{10}}{\displaystyle 5}}\)
➺ \({\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 3\sqrt{3}} + \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 2\sqrt{5}} = }\)
\({= \frac{\displaystyle 2\sqrt{3}}{\displaystyle 3 \cdot 3} + \frac{\displaystyle 3\sqrt{5}}{\displaystyle 2 \cdot 5}}\)
\({= \frac{\displaystyle 2\sqrt{3}}{\displaystyle 9} + \frac{\displaystyle 3\sqrt{5}}{\displaystyle 10}}\) (aducem la același numitor)
\({= \frac{\displaystyle 2 \cdot 10 \cdot \sqrt{3}}{\displaystyle 9 \cdot 10} + \frac{\displaystyle 3 \cdot 9 \cdot \sqrt{5} }{\displaystyle 9 \cdot 10}}\)
\({= \frac{\displaystyle 20\sqrt{3} + 27\sqrt{5}}{\displaystyle 90}}\)