★ Amplificarea fracțiilor algebrice

A amplifica o fracție algebrică înseamnă a înmulți atât numărătorul, cât și numitorul fracției cu aceeași expresie diferită de 0 sau cu același număr nenul. Prin amplificare, valoarea fracției nu se schimbă (adică se obține o fracție echivalentă cu fracția inițială).

Amplificăm o fracție algebrică atunci când vrem să aducem la același numitor mai multe fracții sau când vrem să raționalizăm numitorul unei fracții algebrice.

Exemple

1. Amplificăm fracția \({\frac{\displaystyle x}{\displaystyle x + 2}}\) cu \({x - 1}\).

Scriem condițiile \({x + 2 \neq 0}\) și \({x - 1 \neq 0 }\), adică \({x \neq -2}\) și \({x \neq 1 }\).

2. Amplificăm fracția \({\frac{\displaystyle x + 1}{\displaystyle \sqrt{3} - x}}\) cu \({\sqrt{3} + x}\).

Scriem condițiile \({\sqrt{3} - x \neq 0}\) și \({\sqrt{3} + x \neq 0 }\), adică \({x \neq \sqrt{3}}\) și \({x \neq -\sqrt{3} }\).

★ Simplificarea fracțiilor algebrice

A simplifica o fracție algebrică înseamnă a împărți atât numărătorul, cât și numitorul fracției cu aceeași expresie diferită de 0 sau cu același număr nenul. Prin simplificare, valoarea fracției nu se schimbă (adică se obține o fracție echivalentă cu fracția inițială).

Pentru a putea simplifica o fracție algebrică, mai întâi descompunem în factori numărătorul și numitorul fracției.

Simplificăm o fracție algebrică atunci când vrem să aducem la același numitor mai multe fracții.

Exemplu

Simplificăm fracția \({\frac{\displaystyle x^2 + 2x + 1}{\displaystyle x^2 - 1}}\).

Scriem condiția \({x^2 - 1 \neq 0}\), adică \({(x + 1)(x - 1) \neq 0}\). Rezultă că fracția are sens pentru orice număr real diferit de \({x \neq 1}\) și \({x \neq -1 }\).

Descompunem în factori numărătorul și numitorul fracției. La numărător observăm că putem aplica formula \({a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2}\).

La numitor observăm că putem aplica formula \({a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)}\).

Observăm că \({x + 1}\) este factor comun pentru numărător și pentru numitor, deci putem simplifica fracția cu \({x + 1}\).