Memorator Algebră

clasele 5 - 8













Inecuații de forma \({ax + b \ge 0 }\) (\({\le, <, > }\)), \({a, b \in \mathbf{R}}\), \({x \in \mathbf{D}}\)

Inecuația de forma \({ax + b \ge 0 }\) (\({\le, <, > }\)), \({x \in \mathbf{D}}\) se numește inecuație liniară (de gradul 1) cu necunoscuta \({x}\).

  • \({a}\) este coeficientul necunoscutei;
  • \({b}\) este termenul liber;
  • \({\mathbf{D}}\) este mulțimea în care necunoscuta ia valori;
  • a rezolva o inecuație înseamnă a găsi valorile din mulțimea \({\mathbf{D}}\) ale necunoscutei \({x}\) pentru care inegalitatea este adevărată (aceste valori sunt soluții ale inecuației);
  • pentru a găsi mulțimea soluțiilor unei inecuații (notată cu \({\mathbf{S}}\)), intersectăm mulțimea \({\mathbf{D}}\) cu mulțimea valorilor pentru care inecuația este adevărată;
  • inecuația nu are o singură soluție, ci o mulțime de soluții; mulțimea soluțiilor poate fi o mulțime finită sau o mulțime infinită sau un interval, în funcție de mulțimea \({\mathbf{D}}\) în care necunoscuta ia valori;
  • două inecuații care au aceeași mulțime a soluțiilor se numesc inecuații echivalente.

Când rezolvăm o inecuație, scopul este să separăm termenii: într-un membru termenii care conțin necunoscuta, iar în celălalt membru termenii liberi. Se obțin succesiv inecuații echivalente cu cea dată, astfel încât la final să putem deduce mulțimea soluțiilor.





Rezolvarea inecuației care are forma \({ax + b \ge 0 \;\;\;(\le, <, > )}\), cu \({x \in \mathbf{R}}\)

  • îl trecem pe \({+b}\) în membrul drept, cu semn schimbat (adică îl scădem pe \({b}\) din ambii membri);

  • \({ax \ge -b }\)


  • împărțim ambii membri cu \({a}\) (coeficientul necunoscutei \({x}\));
  • ! ! ! contează dacă \({a}\) este pozitiv sau negativ


    \({ax \ge -b \;\;\; \mid \;\;\; : a}\)


    • dacă \({a>0}\), atunci \({x \ge -\frac{\displaystyle b}{\displaystyle a} }\), adică \({x \in \left[-\frac{\displaystyle b}{\displaystyle a}, + \infty \right) }\)

    • Inecuația de gradul 1 interval închis la stânga


      sau


    • dacă \({a<0}\), atunci \({x \le -\frac{\displaystyle b}{\displaystyle a} }\), adică \({x \in \left(-\infty, -\frac{\displaystyle b}{\displaystyle a} \right] }\)

    • Inecuația de gradul 1 interval închis la dreapta



Dacă inecuația nu are forma generală, atunci folosim proprietățile relației de inegalitate pe mulțimea numerelor reale pentru a o aduce la forma generală. Concret, avem următoarele reguli:

  • trecerea unui termen dintr-un membru în altul se face cu semn schimbat, obținându-se o inecuație echivalentă cu cea dată;
  • dacă înmulțim sau împărțim ambii membri cu un număr pozitiv, obținem o inecuație echivalentă cu cea dată;
  • dacă înmulțim sau împărțim ambii membri cu un număr negativ, se schimbă sensul inegalității, obținându-se o inecuație echivalentă cu cea dată;
  • dacă adunăm sau scădem același număr din ambii membri, obținem o inecuație echivalentă cu cea dată.

Dacă inecuația de rezolvat este o fracție comparată cu 0, cu necunoscuta \({x}\) doar la numitor sau doar la numărător, atunci trebuie să ne amintim regula semnelor:

  • un număr negativ supra un număr pozitiv ne dă un număr negativ;
  • un număr pozitiv supra un număr negativ ne dă un număr negativ;
  • un număr pozitiv supra un număr pozitiv ne dă un număr pozitiv;
  • un număr negativ supra un număr negativ ne dă un număr pozitiv.

Inecuație fracție regula semnelor


Dacă inecuația de rezolvat este de forma \({\mid ax + b \mid \le 0}\), folosim proprietățile modulului unui număr real:


\({|x| \le a }\) este echivalent cu \({x \in [-a, a] }\) este echivalent cu \({-a \le x \le a }\)


\({|x| < a }\) este echivalent cu \({x \in (-a, a) }\) este echivalent cu \({-a < x < a }\)





Exemple

1. Rezolvați în \({\mathbf{Z}}\), apoi în \({\mathbf{R}}\) inecuația \({5x + 4 \le 9x + 3}\).

  • separăm termenii:
  • \({5x - 9x \le - 4 + 3}\)

  • efectuăm calculele în fiecare membru:
  • \({- 4x \le - 1 \;\;\; \mid \; : (-4)}\)

  • împărțim cu coeficientul necunoscutei (este -4, număr negativ, deci se schimbă sensul inegalității)
  • \({x \ge \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4}}\)

    \({x \in \left[\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4}, + \infty \right) }\)

  • soluția inecuației în \({\mathbf{Z}}\):
  • \({S = \mathbf{Z} \cap \left[\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4}, + \infty \right) }\)

    \({S = \{1, 2, 3, 4, ... \}}\)

  • soluția inecuației în \({\mathbf{R}}\):
  • \({S = \mathbf{R} \cap \left[\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4}, + \infty \right) }\)

    \({S = \left[\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4}, + \infty \right) }\)


2. Rezolvați în \({\mathbf{R}}\) inecuația \({\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 2x + 1} \le 0}\).

  • numitorul fracției tebuie să fie diferit de 0:
  • \({2x + 1 \neq 0}\)

    \({x \neq -\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}}\)

  • numărătorul fracției este 3, număr pozitiv;
  • \({3>0}\)

  • fracția nu poate fi 0, pentru că numărătorul este strict pozitiv;
  • pentru ca fracția să fie mai mică decât 0, este necesar ca numitorul să fie mai mic decât 0:
  • \({2x + 1 < 0}\) - rezolvăm această inecuație

  • separăm termenii:
  • \({2x < -1\;\;\; \mid \; : 2}\)

  • împărțim ambii membri cu 2 (cu coeficientul necunoscutei):
  • \({x < -\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}}\)

    \({x \in \left(-\infty, -\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} \right) }\)

  • soluția inecuației:
  • \({S = \mathbf{R} \cap \left(-\infty, -\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} \right) }\)

    \({S = \left(-\infty, -\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} \right)}\)


3. Rezolvați în \({\mathbf{R}}\) inecuația \({\left|\frac{\displaystyle 2 - 3x}{\displaystyle 5}\right| \le \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}}\).

  • folosim proprietatea modulului:

  • \({|x| \le a }\) este echivalent cu \({x \in [-a, a] }\) este echivalent cu \({-a \le x \le a }\);


    \({\left|\frac{\displaystyle 2 - 3x}{\displaystyle 5}\right| \le \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}}\) \({ \Longleftrightarrow}\) \({\frac{\displaystyle 2 - 3x}{\displaystyle 5} \in \left[-\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}, \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}\right] }\) \({ \Longleftrightarrow}\) \({-\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 3} \le \frac{\displaystyle 2 - 3x}{\displaystyle 5} \le \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 3} }\);


  • rezolvăm inecuația \({-\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 3} \le \frac{\displaystyle 2 - 3x}{\displaystyle 5} \le \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 3} }\)

    • înmulțim inecuația cu cel mai mic multiplu comun al numitorilor celor două fracții (vrem să scăpăm de numitori):


    • \({-\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 3} \le \frac{\displaystyle 2 - 3x}{\displaystyle 5} \le \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 3} \;\;\; \mid \; \cdot \; 15}\)


      \({-\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle \cancel{3}} \cdot \cancel{15}^5 \le \frac{\displaystyle 2 - 3x}{\displaystyle \cancel{5}} \cdot \cancel{15}^3 \le \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle \cancel{3}} \cdot \cancel{15}^5}\)


      \({-10 \le 3(2 - 3x)\le 10}\)


      \({-10 \le 6 - 9x \le 10 \;\;\; \mid \; - \; 6}\)


    • scădem 6 din toți membrii:

    • \({-10 - 6 \le - 9x \le 10 - 6}\)


      \({-16 \le - 9x \le 4 \;\;\; \mid \; : \; (-9)}\)


    • împărțim cu -9 toți membrii (se schimbă sensul inegalităților):

    • \({\frac{\displaystyle 16}{\displaystyle 9} \ge x \ge -\frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 9} }\)


      \({x \in \left[-\frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 9}, \frac{\displaystyle 16}{\displaystyle 9} \right] }\)

    • soluția inecuației:

    • \({S = \mathbf{R} \cap \left[-\frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 9}, \frac{\displaystyle 16}{\displaystyle 9} \right] }\)


      \({S = \left[-\frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 9}, \frac{\displaystyle 16}{\displaystyle 9} \right]}\)


  • inecuația \({-\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 3} \le \frac{\displaystyle 2 - 3x}{\displaystyle 5} \le \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 3} }\) poate fi „spartă” în două inecuații:

    • \({-\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 3} \le \frac{\displaystyle 2 - 3x}{\displaystyle 5} }\) cu mulțimea soluțiilor \({S_1 = \left(- \infty, \frac{\displaystyle 16}{\displaystyle 9} \right] }\)


    • \({\frac{\displaystyle 2 - 3x}{\displaystyle 5} \le \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 3} }\) cu mulțimea soluțiilor \({S_2 = \left[-\frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 9}, + \infty \right) }\)


    • \({S = S_1 \cap S_2 = \left[-\frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 9}, \frac{\displaystyle 16}{\displaystyle 9} \right] }\)