∎ Puterea cu exponent număr întreg a unui număr raţional nenul

Pentru orice \({a}\) număr rațional nenul și \({n}\) și număr natural, avem:

\({\underbrace{a^{n} = a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{\text{de} \; n \; \text{ori} }}\)

❯ Puterea cu exponent negativ:

\({a^{-n} = (a^{-1})^{n} = }\) \({\left(\frac{1}{a}\right)^n}\) \({= }\) \({\frac{1}{a^{n}}}\)

\({a^{-1} =}\) \({\frac{1}{a}}\)

\({\left(\frac{m}{n} \right)^{-x} }\) \({=}\) \({\frac{1}{\left(\frac{m}{n} \right)^{x}}}\) \({=}\) \({\left(\frac{n}{m}\right)^{x}}\) \({=}\) \({\frac{n^{x}}{m^{x}}}\), unde \({m}\), \({n}\) sunt numere întregi nenule, iar \({x}\) este număr natural

❯ Dacă \({x = 2k}\) (număr par), \({m}\), \({n}\) sunt numere naturale:

\({\left(-\frac{m}{n} \right)^{-2k} }\) \({=}\) \({\frac{1}{\left(-\frac{m}{n} \right)^{2k}}}\) \({=}\) \({\frac{1}{\left(\frac{m}{n} \right)^{2k}}}\) \({=}\) \({\left(\frac{n}{m}\right)^{2k}}\) \({=}\) \({\frac{n^{2k}}{m^{2k}}}\)

(exponentul este număr par, \({- \cdot - = +}\) )

❯ Dacă \({x = 2k + 1}\) (număr impar), \({m}\), \({n}\) sunt numere naturale:

\({\left(-\frac{m}{n} \right)^{-(2k + 1)} }\) \({=}\) \({\frac{1}{\left(-\frac{m}{n} \right)^{2k + 1}}}\) \({=}\) \({-\frac{1}{\left(\frac{m}{n} \right)^{2k + 1}}}\) \({=}\) \({-\left(\frac{n}{m}\right)^{2k + 1}}\) \({=}\) \({-\frac{n^{2k+1}}{m^{2k+1}} }\)

(exponentul este număr impar, \({- \cdot - \cdot - = -}\) )

❢ Convenții

\({a^{0} = 1}\)

\({a^{1} = a}\)

\({0^{0}}\) nu se definește

❢ Exemple

\({2^{-3} =}\) \({\frac{1}{2^{3}}}\) \({=}\) \({\frac{1}{8}}\)

\({(-3)^{-2} =}\) \({\frac{1}{(-3)^{2}}}\) \({=}\) \({\frac{1}{9}}\) (exponentul este număr par, \({- \cdot - = +}\) )

\({(-3)^{-3} =}\) \({\frac{1}{(-3)^{3}}}\) \({=}\) \({-\frac{1}{27}}\) (exponentul este număr impar, \({- \cdot - \cdot - = -}\) )

\({\left(\frac{5}{6} \right)^{-3} }\) \({=}\) \({\frac{1}{\left(\frac{5}{6} \right)^{3}}}\) \({=}\) \({\left(\frac{6}{5}\right)^{3}}\) \({=}\) \({\frac{6^{3}}{5^{3}}}\) \({=}\) \({\frac{216}{125}}\)

\({\left(-\frac{4}{9} \right)^{-2} }\) \({=}\) \({\frac{1}{\left(-\frac{4}{9} \right)^{2}}}\) \({=}\) \({\left(\frac{9}{4}\right)^{2}}\) \({=}\) \({\frac{9^{2}}{4^{2}}}\) \({=}\) \({\frac{81}{16}}\)

\({\left(-\frac{2}{3} \right)^{-3} }\) \({=}\) \({\frac{1}{\left(-\frac{2}{3} \right)^{3}}}\) \({=}\) \({-\left(\frac{3}{2}\right)^{3}}\) \({=}\) \({-\frac{3^{3}}{2^{3}}}\) \({=}\) \({-\frac{27}{8}}\)

❢ Reguli de calcul cu puteri

• înmulțirea puterilor cu aceeași bază



\({a^{m} \cdot a^{n}= a^{m \; + \; n}}\)

(scriem baza și adunăm exponenții)

• împărțirea puterilor cu aceeași bază



\({a^{m} : a^{n}= a^{m \; - \; n}}\)

(scriem baza și scădem exponenții)

• puterea unei puteri



\({(a^{m})^{n}= a^{m \; \cdot \;n}}\)

(scriem baza și înmulțim exponenții)

• puterea unui produs



\({(a \cdot b)^{n}= a^{n} \cdot b^{n}}\)

(fiecare factor al produsului se ridică la puterea respectivă)

• puterea unui cât



\({\left(\frac{a}{b}\right)^{n}}\) \({=}\) \({\frac{a^{n}}{b^{n}}}\), \({\;\;\,\; b \neq 0}\)

(fiecare termen al câtului se ridică la puterea respectivă)