Memorator Algebră

clasele 5 - 8













Ecuația de gradul I în \({ℤ}\)

Ecuația este o egalitate în care avem un termen necunoscut (notat de obicei cu litera \({x}\)). Acest termen necunoscut se numeşte necunoscuta ecuaţiei.

Ecuația de gradul I este o ecuaţie în care necunoscuta \({x}\) este o putere cu exponentul 1.

Ecuația de gradul I are forma generală \({ ax + b = 0, a\neq0}\).

  • \({ a}\) este coeficientul necunoscutei
  • \({ b}\) este termenul liber
  • ce este înaintea egalului se numeşte membrul stâng sau membrul 1 al ecuaţiei
  • ce este după egal se numeşte membrul drept sau membrul 2 al ecuaţiei

Soluţia (sau rădăcina) ecuației de gradul I este valoarea pe care trebuie s-o ia necunoscuta pentru ca egalitatea să fie adevărată.

Ecuația de gradul I în \({ℤ}\) are soluţia în mulţimea numerelor întregi (în \({ℤ}\)).

Rezolvarea ecuaţiei de gradul I în \({ℤ}\) înseamnă să găsim numărul întreg pentru care egalitatea este adevărată.





Cum rezolvăm ecuaţia de gradul I

  • trecem într-o parte a egalului toți termenii care conțin necunoscuta \({x}\), iar în cealaltă parte a egalului termenii liberi (care nu conțin necunoscuta \({x}\)).
  • Trecerea dintr-o parte în alta a egalului se face schimbând semnul: plus devine minus, minus devine plus.

  • se efectuează calculele în fiecare parte a semnului egal
  • se obţine o nouă ecuaţie de forma \({ax = b}\) (echivalentă cu ecuaţia dată)
  • se împart ambii membri ai ecuaţiei \({ax = b}\) cu coeficientul \({a}\) al necunoscutei; soluţia ecuaţiei date este număr întreg dacă coeficientul necunoscutei este divizor al termenului liber în ecuaţia nou obţinută
  • verificăm dacă soluţia găsită aparţine mulţimii specificate în cerinţă

Reguli de calcul (care explică şi trecerea dintr-o parte în alta a egalului cu semn schimbat)

  • dacă adunăm acelaşi număr la ambii membri ai unei ecuaţii, obţinem o ecuaţie echivalentă cu cea dată
  • dacă scădem acelaşi număr din ambii membri ai unei ecuaţii, obţinem o ecuaţie echivalentă cu cea dată
  • dacă înmulţim cu acelaşi număr ambii membri ai unei ecuaţii, obţinem o ecuaţie echivalentă cu cea dată
  • dacă împărţim la acelaşi număr ambii membri ai unei ecuaţii, obţinem o ecuaţie echivalentă cu cea dată




Exemple de ecuaţii de gradul I în \({ℤ}\)

  • \({x + 3 = 14}\)
  • trecem într-o parte a egalului toți termenii care conțin necunoscuta \({x}\), iar în cealaltă parte a egalului termenii liberi (care nu conțin necunoscuta \({x}\)).
  • +3 trece în partea cealaltă şi devine -3

    \({x = 14 - 3}\)

  • se efectuează calculele în fiecare parte a semnului egal
  • \({x = 11}\)

  • 11 este număr întreg, deci este soluţie a ecuaţiei date
  • \({x - 6 = 9}\)
  • \({x = 9 + 6}\)
  • \({x = 15}\)
  • 15 ∈ \({ℤ}\), deci este soluţie a ecuaţiei date
  • \({4x : 2 = 10}\)
  • înmulţim cu 2 ambii membri ai ecuaţiei
  • \({4x = 20}\)

  • împărţim la 4 ambii membri ai noii ecuaţii
  • \({x = 5}\)

  • 5 ∈ \({ℤ}\), deci este soluţie a ecuaţiei date
  • \({7 - 3x = 43}\)
  • pe \({- 3x}\) îl trecem în partea cealaltă a egalului cu semn schimbat şi devine \({3x}\)
  • pe 43 îl trecem în partea cealaltă cu semn schimbat şi devine -43
  • \({3x = 7 - 43}\)

    \({3x = -36}\)

  • împărţim la 3 ambii membri ai noii ecuaţii
  • \({x = -12}\)

  • -12 ∈ \({ℤ}\), deci este soluţie a ecuaţiei date
  • \({3x - 4 = 5x + 6}\)
  • trecem în membrul 1 al ecuaţiei termenii care conţin necunoscuta, iar în membrul 2 vom avea termenii liberi. Trecerea dintr-o parte în alta a egalului se face cu semn schimbat.
  • pe 5x îl trecem în primul membru al ecuaţiei şi devine -5x
  • pe -4 îl trecem în al doilea membru al ecuaţiei şi devine 4
  • \({3x - 5x = 6 + 4}\)

  • efectuăm calculele în fiecare membru al ecuaţiei
  • \({-2x = 10}\)

  • împărţim fiecare membru al ecuaţiei cu -2
  • \({x = -5}\)

  • -5 ∈ \({ℤ}\), deci este soluţie a ecuaţiei date