∎ Ecuaţii de gradul 1 în mulţimea numerelor raţionale

Ecuația este o egalitate în care apar necunoscute notate cu litere. Ea este adevărată doar pentru anumite valori ale neconoscutelor.

Ecuația de gradul 1 (liniară) are necunoscuta la puterea 1. Forma generală a ecuației de gradul 1 este \({ax + b = 0}\), unde \({a \neq 0}\) este coeficientul necunoscutei \({x}\), iar \({b}\) este termenul liber.

A rezolva o ecuație în mulțimea numerelor raționale înseamnă a găsi mulțimea tuturor soluțiilor raționale ale acesteia.

Două ecuații se numesc echivalente dacă au aceeași mulțime de soluții.

Exemple de ecuații

\({5x + 6 = 0}\)

\({2x - 3 = \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 2} + x}\)

\({2{,}6x - 1{,}4 = x - 4{,}8}\)

\({\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle2} \cdot x - 3 = \frac{\displaystyle 7}{\displaystyle2} \cdot x + 6}\)

Tot ce este în stânga semnului = numim membrul 1 al ecuației sau membrul stâng al ei. Tot ce este în dreapta semnului = numim membrul 2 al ecuației sau membrul drept al acesteia.

? Cum rezolvăm o ecuație ?

Ne interesează să avem într-o parte a egalului doar termenii care conțin necunoscuta \({x}\), iar în cealaltă parte a egalului toți termenii liberi. Efectuăm calculele, iar ultimul pas este să împărțim ambii membri ai ecuației cu coeficientul necunoscutei.

Important!

• trecerea unui termen dintr-o parte în alta a egalului se face schimbând semnul: + devine -, iar - devine +;
• prin adunarea sau scăderea aceluiași număr în ambii membri ai unei ecuații, se obține o ecuație echivalentă cu cea inițială;
• prin înmulțirea sau împărțirea cu același număr în ambii membri ai unei ecuații, se obține o ecuație echivalentă cu cea inițială.



\({ax + b = 0 \;\;\;\; \mid \; - \;b}\)

\({ax = -b \;\;\;\; \mid \; : \;a}\)

\({x = -\frac{\displaystyle b}{\displaystyle a}}\)

Exemple

❢ \({2x - 3 = 0 \;\;\;\; \mid \; + \;3}\)

\({2x - 3 + 3 = 0 + 3}\)

\({2x = 3 \;\;\;\; \mid \; : \;2}\)

\({x = \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle2} \in ℚ}\)

❢ \({\frac{\displaystyle x}{\displaystyle3} = 75 \;\;\;\; \mid \; \cdot \;3}\)

\({x = 75 \cdot 3}\)

\({x = 225 \in ℚ}\)

❢ \({2x - 3 = \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle2} + x}\)

\({2x - x = 3 + \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle2}}\)

\({x = \frac{\displaystyle 9}{\displaystyle2} \in ℚ}\)

❢ \({-8 + 2 (x - 2) = 5x + 6}\)

\({-8 + 2x - 4 = 5x + 6}\)

\({-12 + 2x = 5x + 6}\)

\({-12 - 6 = 5x - 2x}\)

\({-18 = 3x \;\;\; \mid \; : \;3}\)

\({x = -6 \in ℚ}\)