∎ Probleme care se rezolvă cu ajutorul sistemelor de ecuații

★ Etape

• citim enunțul până înțelegem bine ce ni se dă și ce ni se cere;
• stabilim necunoscutele și le notăm cu litere;
• scriem relațiile dintre necunoscute, sub forma unui sistem de ecuații;
• rezolvăm sistemul de ecuații;
• verificăm și intrepretăm rezultatul găsit.

★ Exemple

1. Într-o clasă sunt 25 de copii, fete și băieți. Dacă mai vin 2 fete, atunci numărul fetelor va fi dublu față de numărul băieților. Câte fete și câți băieți sunt în clasă?

• notăm cu \({x}\) numărul fetelor și cu \({y}\) numărul băieților
• în total sunt 25 de copii, deci putem scrie prima ecuație astfel:

\({x + y = 25}\)

• dacă mai vin două fete, atunci numărul fetelor va fi \({x + 2}\)
• dublul numărului băieților se scrie \({2y}\)
• a doua ecuație va fi:

\({x + 2 = 2y}\)

• avem sistemul de ecuații:

$$ \left\{ \begin{alignedat}{4} &x+y=25 \\ &x+2=2y \end{alignedat} \right. $$

• rezolvăm sistemul prin metoda substituției;
• din a doua ecuație îl scriem pe \({x}\) în funcție de \({y}\):

\({x = 2y - 2}\)

• îl înlocuim pe \({x}\) în prima ecuație:

\({2y - 2 + y = 25}\)

\({3y = 25 + 2}\)

\({3y = 27\; \; \; \; \; \mid \; : \; 3}\)

\({y = 9}\)

• am aflat că sunt 9 băieți în clasă;
• în total sunt 25 de copii, deci sunt 16 fete;

\({25 - 9 = 16 \; \text{fete}}\)

• sunt 16 fete și 9 băieți;
• verificăm: 16 plus 9 ne dă 25; 16 plus 2 ne dă 18, adică dublul lui 9; înseamnă am lucrat corect.

2. Maria a cumpărat 8 tricouri de două feluri: unele cu 32 de lei, altele cu 57 de lei. În total a plătit 331 de lei. Câte tricouri din fiecare fel a cumpărat?

• notăm cu \({x}\) tricourile care costă 32 de lei;
• notăm cu \({y}\) tricourile care costă 57 de lei;
• în total sunt 8 tricouri, deci putem scrie ecuația:

\({x + y = 8}\)

• pentru cele \({x}\) tricouri care costă 32 de lei, Maria plătește \({32 \cdot x \; \text{lei}}\);
• pentru cele \({y}\) tricouri care costă 57 de lei, Maria plătește \({57 \cdot x \; \text{lei}}\);
• în total, Maria plătește 331 de lei; putem scrie a doua ecuație, astfel:

\({32x + 57y = 331}\)

• avem sistemul de ecuații:

$$ \left\{ \begin{alignedat}{4} &x+y=8 \\ &32x+57y=331 \end{alignedat} \right. $$

• rezolvăm sistemul folosind metoda reducerii; înmulțim prima ecuație cu -32:

$$ \left\{ \begin{alignedat}{4} &x+y=8 \; \; \; \; \; \mid \; \cdot \; (-32)\\ &32x+57y=331 \end{alignedat} \right. $$

• obținem sistemul echivalent:

$$ \left\{ \begin{alignedat}{4} &-32x-32y=-256 \\ &32x+57y=331 \end{alignedat} \right. $$

• adunăm cele două ecuații ale noului sistem și obținem ecuația:

\({25y = 75\; \; \; \; \; \mid \; : \; 25}\)




\({y = 3 }\)



• am aflat că Maria a cumpărat 3 tricouri care costă 57 de lei bucata;
• în total a cumpărat 8 tricouri, deci sunt 5 tricouri cu 32 de lei bucata;

\({x = 8 - 3}\)




\({x = 5 }\)



• am aflat că Maria a cumpărat 5 tricouri cu 32 de lei bucata și 3 tricouri cu 57 de lei bucata;
• verificăm:

\({5 \cdot 32 + 3 \cdot 57 = 160 + 171 = 331 }\) adevărat

3. 5 caiete și 6 pixuri costă 43 de lei.

8 caiete și 3 pixuri costă 49 de lei.

Cât costă 1 caiet și cât costă 1 pix?

• notăm cu \({x}\) cât costă 1 caiet;
• notăm cu \({y}\) cât costă 1 pix;
• 5 caiete costă \({5 \cdot x}\);
• 6 pixuri costă \({6 \cdot y}\);
• scriem prima ecuație:

\({5x + 6y = 43}\)

• 8 caiete costă \({8 \cdot x}\);
• 3 pixuri costă \({3 \cdot y}\);
• scriem a doua ecuație:

\({8x + 3y = 49}\)

• avem sistemul de ecuații:

$$ \left\{ \begin{alignedat}{4} &5x+6y=43 \\ &8x+3y=49 \end{alignedat} \right. $$

• rezolvăm sistemul prin metoda reducerii; înmulțim a doua ecuație cu -2:

$$ \left\{ \begin{alignedat}{4} &5x+6y=43 \; \; \; \; \; \mid \; \cdot \; (-2)\\ &8x+3y=49 \end{alignedat} \right. $$

• obținem sistemul echivalent:

$$ \left\{ \begin{alignedat}{4} &5x+6y=43 \\ &-16x-6y=-98 \end{alignedat} \right. $$

• adunăm cele două ecuații ale noului sistem și obținem ecuația:

\({-9x = -45 \; \; \; \; \; \mid \; : \; (-9)}\)




\({x = 5 }\)



• îl înlocuim pe \({x}\) în ecuația \({5x + 6y = 43}\) și obținem:

\({5 \cdot 5 + 6y = 43 }\)

\({25 + 6y = 43 }\)

\({6y = 43 - 25 }\)

\({6y = 18 \; \; \; \; \; \mid \; : \; 6}\)




\({x = 3 }\)



• am aflat că 1 caiet costă 5 lei și 1 pix costă 3 lei;
• verificăm:

\({5 \cdot 5 + 6 \cdot 3 = 25 + 18 = 43 }\) adevărat

\({8 \cdot 5 + 3 \cdot 3 = 40 + 9 = 49 }\) adevărat