Memorator Algebră

clasele 5 - 8













Împărţirea exactă a numerelor întregi (când deîmpărţitul este multiplu al împărţitorului)

\({a : b = c}\)

Termenii împărțirii sunt deîmpărțitul (\({a}\)) și împărțitorul (\({b}\)); rezultatul se numește cât (\({c}\)).

Dacă deîmpărțitul este multiplu al împărțitorului (\({a = b \cdot c}\)), atunci împărțirea este exactă.

Spunem că:

  • \({a}\) este multiplu al lui \({b}\) și al lui \({c}\);
  • \({a}\) este divizibil cu \({b}\);
  • \({a}\) este divizibil cu \({c}\);
  • \({b}\) și \({c}\) sunt divizori ai lui \({a}\);
  • \({b}\) divide pe \({a}\);
  • \({c}\) divide pe \({a}\).




Regula semnelor:

  • dacă deîmpărțitul și împărțitorul au același semn, atunci câtul este pozitiv (are semnul +)
    • \({+ : + = +}\)
    • \({(+12) : (+2) = 12 : 2 = 6 = +6}\)

    • \({- : - = -}\)
    • \({(-15) : (-3) = +5 = 5}\)

  • dacă deîmpărțitul și împărțitorul au semne diferite, atunci câtul este negativ (are semnul -)
    • \({+ : - = -}\)
    • \({18 : (-2) = -9}\)

    • \({- : + = -}\)
    • \({(-16) : (+2) = 16 : 2 = -8}\)





Proprietăți:

  • 0 împărțit la orice număr întreg ne dă 0;
  • \({0 : a = 0}\)

    \({0 : (-5) = 0}\)

  • împărțirea la 0 nu are sens;
  • \({a : 0 \; \text{nu} \; \text{se}\; \text{poate}}\)

    \({(-8) : 0 \; \text{nu} \; \text{se}\; \text{poate}}\)

  • \({a : 1 = a}\) pentru orice număr întreg \({a}\)
  • \({(-7) : 1 = -7}\)

  • \({a : (-1) = -a}\) pentru orice număr întreg \({a}\)
  • \({(-14) : (-1) = +14 = 14}\)

    \({23 : (-1) = -23}\)

  • \({(a + b) : c = a : c + b : c}\) oricare ar fi \({a}\) și \({b}\) multipli ai lui \({c}\), \({a, b ∈ ℤ }\), \({c ∈ ℤ^*}\);
  • \({[(-10) + 15] : (-5) = (-10) : (-5) + 15 : (-5) = 2 + (-3) = 2 - 3 = -1}\)

  • \({(a - b) : c = a : c - b : c}\) oricare ar fi \({a}\) și \({b}\) multipli ai lui \({c}\), \({a, b ∈ ℤ }\), \({c ∈ ℤ^*}\);
  • \({(-21) : (-3) - (-15) : (-3) = [(-21) - (-15)] : (-3) = (-21 + 15) : (-3) = (-6) : (-3) = 2}\)

  • mulțimea divizorilor unui număr întreg este formată din reuniunea a două mulțimi: prima mulțime - mulțimea divizorilor lui \({|a|}\), iar a doua mulțime - mulțimea opușilor divizorilor lui \({|a|}\)
    • mulțimea divizorilor lui 6 este \({D_6 = \{1, 2, 3, 6\} \cup \{-1, -2, -3, -6\}}\)
    • \({D_6 = \{-1, -2, -3, -6, 1, 2, 3, 6\} = \{\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6\}}\)

    • mulțimea divizorilor lui -6 este \({D_{-6} = \{1, 2, 3, 6\} \cup \{-1, -2, -3, -6\}}\)
    • \({D_{-6} = \{-1, -2, -3, -6, 1, 2, 3, 6\} = \{\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6\}}\)

      \({D_{6} = D_{-6}}\)