Memorator Algebră

clasele 5 - 8

≡ Memorator Algebră

∎ Proprietățile divizibilității numerelor naturale

Exersează! - 3

A. Fără a efectua calculele, completează fiecare casetă, astfel încât să obții afirmații adevărate. Folosește proprietățile divizibilității.

a) numărul \({15+24 \; + }\) nu este divizibil cu 3

b) numărul \({+ \; 21+49 }\) nu este divizibil cu 7

c) numărul \({2 \; \cdot }\) nu este divizibil cu 10

d) numărul \({4 \; \cdot }\) nu este divizibil cu 6

B. Răspunde cu „da” sau cu „nu”, fără a efectua înmulțirile: numărul \({5 \cdot 2 \cdot 8 \cdot 9}\) este divizibil cu 6?

Răspuns:

C. Răspunde cu „da” sau cu „nu”, fără a efectua înmulțirile: numărul \({6 \cdot 7 \cdot 81 \cdot 25}\) este divizibil cu 10?

Răspuns:

D. Ce condiție trebuie să îndeplinească numărul \({x}\) astfel încât \({14 \cdot x}\) să fie divizibil cu 6?

Răspuns:

E. Completează casetele cu „A” pentru adevărat sau cu „F” pentru fals!

a) Știm că \({7 \mid a}\) și \({a \mid x}\).

\({x}\) poate fi egal cu 231

b) Știm că \({9 \mid a}\) și \({a \mid y}\).

\({y}\) poate fi egal cu 243

Arată rezolvarea

produsul este divizibil cu orice factor al său și cu orice divizor al factorilor săi
suma este divizibilă cu orice divizor comun al termenilor săi (pe care îl putem da factor comun, ajungând astfel la un produs)

a) numărul \({15 \; + \; 24 \; +}\) un număr care nu e divizibil cu 3 nu este divizibil cu 3

15 este divizibil cu 3
24 este divizibil cu 3
dacă un termen al sumei nu este divizibil cu un număr, iar toți ceilalți termeni sunt divizibili cu acel număr, atunci suma termenilor nu este divizibilă cu acel număr
suma are trei termeni, dintre care doi sunt divizibili cu 3; înseamnă că trebuie să completăm caseta cu un număr care nu e divizibil cu 3; de exemplu, putem completa cu 5, 8, 13, 22, 29 etc.

b) un număr care nu e divizibil cu 7 \({+ \; 21 \; + \; 49}\) nu este divizibil cu 7

21 și 49 sunt numere divizibile cu 7
dacă un termen al sumei nu este divizibil cu un număr, iar toți ceilalți termeni sunt divizibili cu acel număr, atunci suma termenilor nu este divizibilă cu acel număr
suma are trei termeni, dintre care doi sunt divizibili cu 7; înseamnă că trebuie să completăm caseta cu un număr care nu e divizibil cu 7; de exemplu, putem completa cu 36, 71, 100 etc.

c) numărul \({2 \; \cdot }\) un număr care nu e divizibil cu 5 nu este divizibil cu 10

un număr este divizibil cu 10 dacă este divizibil cu 2 și cu 5
numărul \({2 \; \cdot }\) este divizibil cu 2, pentru că unul dintre factori este 2
înseamnă că trebuie să completăm caseta cu un număr care nu e divizibil cu 5; de exemplu, putem completa cu 4, 18, 79, 53 etc.

d) numărul \({4 \; \cdot }\) un număr care nu e divizibil cu 3 nu este divizibil cu 6

un număr este divizibil cu 6 dacă este divizibil cu 2 și cu 3
numărul \({4 \; \cdot }\) este divizibil cu 2, pentru că are un factor divizibil cu 2
înseamnă că trebuie să completăm caseta cu un număr care nu e divizibil cu 3; de exemplu, putem completa cu 4, 17, 56, 65 etc.

Numărul \({5 \cdot 2 \cdot 8 \cdot 9}\) este divizibil cu 6 pentru că este divizibil cu 2 (are un factor egal cu 2) și cu 3 (9 este divizibil cu 3).

Numărul \({6 \cdot 7 \cdot 81 \cdot 25}\) este divizibil cu 10 pentru că este divizibil cu 2 (6 este divizibil cu 2) și cu 5 (25 este divizibil cu 5).

Un număr este divizibil cu 6 dacă este divizibil cu 2 și cu 3. Numărul \({14 \cdot x}\) este divizibil cu 2 pentru că are un factor care este divizibil cu 2 (14 este divizibil cu 2).

Numărul \({14 \cdot x}\) este divizibil cu 6 dacă numărul \({x}\) este divizibil cu 3.

Folosim tranzitivitatea relației de divizibilitate: dacă \({a|b}\) și \({b|c}\), atunci \({a|c}\).

a) Deoarece \({7|a}\) și \({a|x}\), înseamnă că \({7|x}\). Altfel spus, numărul \({x}\) este multiplu de 7 (se împarte exact la 7).

Să cercetăm: 231 se împarte exact la 7? Da: 231 împărțit la 7 este egal cu 33; înseamnă că 231 este multiplu al lui 7, deci \({x}\) poate fi egal cu 231.

b) Deoarece \({9|a}\) și \({a|y}\), înseamnă că \({9|y}\). Altfel spus, numărul \({y}\) este multiplu de 9 (se împarte exact la 9).

Să cercetăm: 243 se împarte exact la 9? Da: 243 împărțit la 9 este egal cu 27; înseamnă că 243 este multiplu al lui 9, deci \({y}\) poate fi egal cu 243.

dacă un număr \({a }\) divide două sau mai multe numere, atunci \({a }\) divide și suma numerelor respective;
altfel spus, dacă termenii unei sume sunt divizibili cu numărul \({a }\), atunci suma este divizibilă cu numărul \({a }\);

invers nu este adevărat: dacă suma este divizibilă cu un număr, nu înseamnă că termenii sumei sunt divizibili cu acel număr (de exemplu: \({12}\) este divizibil cu \({3}\); scriem numărul \({12}\) ca sumă de doi termeni \({12 = 7 + 5 }\); termenii \({7}\) și \({5}\) nu sunt divizibili cu \({3}\));
dacă nici unul dintre termenii unei sume nu este divizibil cu un număr, atunci suma poate sau nu să fie divizibilă cu acel număr; de exemplu, 5 și 7 nu sunt divizibili cu 2, dar suma lor este divizibilă cu 2;
dacă un termen al sumei nu este divizibil cu un număr, iar toți ceilalți termeni sunt divizibili cu acel număr, atunci suma termenilor nu este divizibilă cu acel număr; de exemplu, numerele 3, 6 și 9 sunt divizibile cu 3; numărul 5 nu este divizibil cu 3; suma \({3+6+9+5 =23}\) nu este divizibilă cu 3;

dacă unul dintre factorii unui produs este divizibil cu numărul \({a }\), atunci produsul este divizibil cu numărul \({a }\).

invers nu este adevărat: dacă produsul este divizibil cu un număr, nu înseamnă că factorii sunt divizibili cu acel număr (de exemplu: \({12}\) este divizibil cu \({3}\); scriem numărul \({12}\) ca produs de doi factori \({12 = 2 \cdot 6 }\); factorul \({2}\) nu este divizibil cu \({3}\));

dacă \({a|b}\) și \({b|c}\), atunci \({a|c}\) (tranzitivitatea relației de divizibilitate)

Exersează 1 | Exersează 2 | Exersează 3 | Exersează 4 | Exersează 5

⮜ Probabilități

Sistem de axe ortogonale ⮞