Memorator Algebră

clasele 5 - 8













Ecuații de forma \({x^2 = a \in \mathbf{R}}\)

Necunoscuta ecuației este \({x}\).

Exponentul necunoscutei este 2, deci ecuația poate avea cel mult două soluții în mulțimea numerelor reale. Orice valoare atribuită necunoscutei și care verifică ecuația se numește soluție a ecuației.

A rezolva o ecuație înseamnă a găsi mulțimea tuturor soluțiilor sale.

A rezolva o ecuație în \({\mathbf{R}}\) înseamnă a găsi toate soluțiile reale ale ecuației.

A rezolva o ecuație în \({\mathbf{Q}}\) înseamnă a găsi toate soluțiile raționale ale ecuației.

A rezolva o ecuație în \({\mathbf{Z}}\) înseamnă a găsi toate soluțiile întregi ale ecuației.

A rezolva o ecuație în \({\mathbf{N}}\) înseamnă a găsi toate soluțiile naturale ale ecuației.





Rezolvarea ecuației \({x^2 = a \in \mathbf{R}}\)

  • dacă \({a < 0}\), atunci ecuația nu are soluții în mulțimea numerelor reale.
  • Scriem mulțimea soluțiilor \({S = ∅}\)

  • dacă \({a = 0}\), atunci ecuația o singură soluție \({x = 0}\).
  • Scriem mulțimea soluțiilor \({S = \{0\}}\).

  • dacă \({a > 0}\), atunci ecuația are două soluții reale: \({x_1 = -\sqrt{a}}\) și \({x_2 = \sqrt{a}}\).
  • Scriem mulțimea soluțiilor \({S = \{-\sqrt{a}, \sqrt{a}\}}\).

! Transformări care ne conduc la ecuații echivalente

Fiind dată o ecuație, numim membru stâng sau primul membru al ecuației tot ce este în fața egalului (la stânga lui) și membru drept sau membrul al doilea al ecuației tot ce este după semnul egal (la dreapta egalului).

Obținem o ecuație echivalentă cu cea dată:

  • dacă trecem cu semn schimbat un termen dintr-o parte în alta a egalului;
  • dacă adunăm același număr ambilor membri ai ecuației;
  • dacă scădem același număr din ambii membri ai ecuației;
  • dacă înmulțim cu același număr ambii membri ai ecuației;
  • dacă împărțim cu același număr ambii membri ai ecuației;
  • dacă \({a \ge 0}\), \({b \ge 0}\), atunci \({a = b}\) dacă și numai dacă \({\sqrt{a} = \sqrt{b}}\), adică:
    • dacă \({a = b}\) atunci \({\sqrt{a} = \sqrt{b}}\)
    • dacă \({\sqrt{a} = \sqrt{b}}\) atunci \({a = b}\)




Exemple


\({3x^2 + 10 = 0}\)

\({3x^2 = -10}\)

\({ -10 < 0 \Longrightarrow }\) ecuația nu are soluții reale

\({S = ∅ }\)


\({2x^2 -7 = 5}\)

\({2x^2 = 7 + 5}\)

\({2x^2 = 12 \; \; \; \; \mid \; \cdot \; \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}}\)

\({x^2 = 6}\)

\({x_1 = -\sqrt{6}}\)

\({x_2 = \sqrt{6}}\)

Scriem mulțimea soluțiilor \({S = \{-\sqrt{6}, \sqrt{6}\}}\).


\({(3x - 5)^2 = 49}\)

\({\mid 3x - 5 \mid = \sqrt{49}}\)

  • \({3x - 5 = 7}\)
  • \({3x = 5 + 7}\)

    \({3x = 12 \; \; \; \; \mid \; : \; 3}\)

    \({x = 4}\) număr real

  • \({3x - 5 = -7}\)
  • \({3x = 5 - 7}\)

    \({3x = -2 \; \; \; \; \mid \; : \; 3}\)

    \({x = -\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}}\) număr real

am obținut soluțiile \({x_1 = 4}\) și \({x_2 = -\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}}\)

Scriem mulțimea soluțiilor \({S = \{-\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}, 4\}}\).