∎ Înmulțirea numerelor raţionale

Produsul a două numere raționale este tot un număr rațional.

Fie \({a}\), \({b}\) și \({c}\) numere raționale, \({m}\), \({n}\), \({p}\), \({q}\), \({k}\) și \({j}\) numere întregi, \({b \neq 0}\), \({n \neq 0}\), \({p \neq 0}\), \({q \neq 0}\), \({k \neq 0}\), \({j \neq 0}\).

★ Reguli de calcul

• \({+ a = a}\)
• \({(-a) \cdot (-b) = a \cdot b}\)
• \({(-a) \cdot b = a \cdot (-b) = -a \cdot b}\)
• \({a \cdot 0 = 0 \cdot a = 0}\)
• \({a \cdot 1 = 1 \cdot a = a}\)
• \({a \cdot (-1) = (-1) \cdot a = -a}\)


• \({\frac{m}{n}}\) \({\cdot}\) \({\frac{p}{q}}\) \({=}\) \({\frac{m \; \cdot \; p}{n \; \cdot \; q}}\)


• \({\frac{\cancel{j} \; \cdot \; m}{\bcancel{k} \; \cdot \; n}}\) \({\cdot}\) \({\frac{\bcancel{k} \; \cdot \; p}{\cancel{j} \; \cdot \; q}}\) \({=}\) \({\frac{m \; \cdot \; p}{n \; \cdot \; q}}\)


• regula semnelor:



\({+ \cdot + = +}\)

\({- \cdot - = +}\)

\({- \cdot + = -}\)

\({+ \cdot - = -}\)

Exemple

\({5 \; \cdot}\) \({\left(-\frac{3}{8}\right)}\) \({=}\) \({\frac{-15}{8}}\)

\({-\frac{\overset{2}{\cancel{24}}}{\underset{3}{\cancel{21}}}}\) \({\cdot}\) \({\frac{\overset{1}{\cancel{7}}}{\underset{1}{\cancel{12}}}}\) \({=}\) \({-\frac{2}{3}}\)

★ Inversul unui număr rațional

Inversul unui număr rațional nenul \({a}\) este numărul \({a^{-1}}\), care are proprietatea:

\({a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = 1}\)

\({a^{-1} =}\) \({\frac{1}{a}}\)

\({\left(\frac{m}{n} \right)^{-1}}\) \({=}\) \({\frac{1}{\frac{m}{n}}}\) \({=}\) \({\frac{n}{m}}\)

\({\frac{m}{n}}\) \({\cdot}\) \({\frac{n}{m}}\) \({= 1}\)

Exemple

Inversul lui \({\frac{5}{6}}\) este \({\frac{6}{5}}\).

\({\left(\frac{5}{6} \right)^{-1}}\) \({=}\) \({\frac{1}{\frac{5}{6}}}\) \({=}\) \({\frac{6}{5}}\)

\({\frac{5}{6}}\) \({\cdot}\) \({\frac{6}{5}}\) \({= 1}\)

Inversul lui \({\frac{1}{16}}\) este \({16}\).

\({\left(\frac{1}{16} \right)^{-1}}\) \({=}\) \({\frac{1}{\frac{1}{16}}}\) \({=}\) \({\frac{16}{1}}\) \({= 16}\)

\({\frac{1}{16}}\) \({\cdot}\) \({16}\) \({= 1}\)

Inversul lui \({-3}\) este \({-\frac{1}{3}}\).

\({(-3)^{-1} =}\) \({-\frac{1}{3}}\)

\({-3}\) \({\cdot}\) \({\left(-\frac{1}{3}\right)}\) \({= 1}\)

Inversul lui \({-\frac{4}{9}}\) este \({-\frac{9}{4}}\).

\({\left(-\frac{4}{9}\right)^{-1}}\) \({=}\) \({\frac{1}{\left(-\frac{4}{9}\right)}}\) \({=}\) \({-\frac{9}{4}}\)

\({-\frac{4}{9}}\) \({\cdot}\) \({\left(-\frac{9}{4}\right)}\) \({= 1}\)

★ Proprietățile înmulțirii

• înmulțirea numerelor raționale este comutativă



\({a \cdot b = b \cdot a}\)

• înmulțirea numerelor raționale este asociativă



\({(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)}\)

• înmulțirea numerelor raționale este distributivă față de adunare și scădere



\({a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c}\)

\({a \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c}\)

• 1 este element neutru la înmulțire



\({a \cdot 1 = 1 \cdot a = a}\)

• pentru orice număr rațional \({a}\) există numărul rațional \({a^{-1} =}\) \({\frac{1}{a}}\) astfel încât \({a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = 1}\)


• înmulțirea unei egalități cu un factor



\({a = b \;\;\;\; \mid \cdot \; c}\)

\({a \cdot c = b \cdot c }\)



• simplificarea cu un factor nenul



\({a \cdot c = b \cdot c \;\;\;\; \mid \; : \; c}\) \({\;\;\;\; c \neq 0}\)

\({a = b }\)



• înmulțirea a două egalități



\({a = b }\)

\({c = d }\)

\({\Longrightarrow \;\;\;\; a \cdot c = b \cdot d }\)

★ Relațiile de ordine \({<}\), \({>}\), \({\le}\) și \({\ge}\) au proprietatea de monotonie

• dacă înmulțim o inegalitate cu un număr pozitiv, se păstrează semnul inegalității



\({a < b \;\;\;\; \mid \cdot \; c \;\;\;\; \Longrightarrow \;\;\;\; a \cdot c < b \cdot c}\)

\({-10 < 2 \;\;\;\; \mid \cdot \; 4 \;\;\;\; \Longrightarrow \;\;\;\; (-10) \cdot 4 < 2 \cdot 4}\), adică \({-40 < 8}\) adevărat

• dacă înmulțim o inegalitate cu un număr negativ, se schimbă semnul inegalității



\({a < b \;\;\;\; \mid \cdot \; c \;\;\;\; \Longrightarrow \;\;\;\; a \cdot c > b \cdot c}\)

\({-10 < -2 \;\;\;\; \mid \cdot \; (-4) \;\;\;\; \Longrightarrow \;\;\;\; (-10) \cdot (-4) > (-2) \cdot (-4)}\), adică \({40 > 8}\) adevărat

Dacă vreți să susțineți funcționarea și dezvoltarea mathema.ro, puteți contribui printr-o donație singulară sau lunară. Aceasta nu elimină reclamele existente, dar îmi permite să accelerez dezvoltarea website-ului și să acopăr costurile de funcționare.

Nume titular: GEORGIU LIVIA-NICOLETA

IBAN: RO20BTRLRONCRT0287588001

SWIFT: BTRLRO22

Mulțumesc! ❤️