Memorator Algebră

clasele 5 - 8













Înmulțirea numerelor raţionale

Produsul a două numere raționale este tot un număr rațional.

Fie \({a}\), \({b}\) și \({c}\) numere raționale, \({m}\), \({n}\), \({p}\), \({q}\), \({k}\) și \({j}\) numere întregi, \({b \neq 0}\), \({n \neq 0}\), \({p \neq 0}\), \({q \neq 0}\), \({k \neq 0}\), \({j \neq 0}\).





Reguli de calcul

  • \({+ a = a}\)
  • \({(-a) \cdot (-b) = a \cdot b}\)
  • \({(-a) \cdot b = a \cdot (-b) = -a \cdot b}\)
  • \({a \cdot 0 = 0 \cdot a = 0}\)
  • \({a \cdot 1 = 1 \cdot a = a}\)
  • \({a \cdot (-1) = (-1) \cdot a = -a}\)

  • \({\frac{m}{n}}\) \({\cdot}\) \({\frac{p}{q}}\) \({=}\) \({\frac{m \; \cdot \; p}{n \; \cdot \; q}}\)

  • \({\frac{\cancel{j} \; \cdot \; m}{\bcancel{k} \; \cdot \; n}}\) \({\cdot}\) \({\frac{\bcancel{k} \; \cdot \; p}{\cancel{j} \; \cdot \; q}}\) \({=}\) \({\frac{m \; \cdot \; p}{n \; \cdot \; q}}\)

  • regula semnelor:

  • \({+ \cdot + = +}\)

    \({- \cdot - = +}\)

    \({- \cdot + = -}\)

    \({+ \cdot - = -}\)


Exemple

\({5 \; \cdot}\) \({\left(-\frac{3}{8}\right)}\) \({=}\) \({\frac{-15}{8}}\)


\({-\frac{\overset{2}{\cancel{24}}}{\underset{3}{\cancel{21}}}}\) \({\cdot}\) \({\frac{\overset{1}{\cancel{7}}}{\underset{1}{\cancel{12}}}}\) \({=}\) \({-\frac{2}{3}}\)





Inversul unui număr rațional

Inversul unui număr rațional nenul \({a}\) este numărul \({a^{-1}}\), care are proprietatea:

\({a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = 1}\)

\({a^{-1} =}\) \({\frac{1}{a}}\)


\({\left(\frac{m}{n} \right)^{-1}}\) \({=}\) \({\frac{1}{\frac{m}{n}}}\) \({=}\) \({\frac{n}{m}}\)


\({\frac{m}{n}}\) \({\cdot}\) \({\frac{n}{m}}\) \({= 1}\)


Exemple

Inversul lui \({\frac{5}{6}}\) este \({\frac{6}{5}}\).

\({\left(\frac{5}{6} \right)^{-1}}\) \({=}\) \({\frac{1}{\frac{5}{6}}}\) \({=}\) \({\frac{6}{5}}\)

\({\frac{5}{6}}\) \({\cdot}\) \({\frac{6}{5}}\) \({= 1}\)


Inversul lui \({\frac{1}{16}}\) este \({16}\).

\({\left(\frac{1}{16} \right)^{-1}}\) \({=}\) \({\frac{1}{\frac{1}{16}}}\) \({=}\) \({\frac{16}{1}}\) \({= 16}\)

\({\frac{1}{16}}\) \({\cdot}\) \({16}\) \({= 1}\)


Inversul lui \({-3}\) este \({-\frac{1}{3}}\).

\({(-3)^{-1} =}\) \({-\frac{1}{3}}\)

\({-3}\) \({\cdot}\) \({\left(-\frac{1}{3}\right)}\) \({= 1}\)


Inversul lui \({-\frac{4}{9}}\) este \({-\frac{9}{4}}\).

\({\left(-\frac{4}{9}\right)^{-1}}\) \({=}\) \({\frac{1}{\left(-\frac{4}{9}\right)}}\) \({=}\) \({-\frac{9}{4}}\)

\({-\frac{4}{9}}\) \({\cdot}\) \({\left(-\frac{9}{4}\right)}\) \({= 1}\)





Proprietățile înmulțirii

  • înmulțirea numerelor raționale este comutativă

  • \({a \cdot b = b \cdot a}\)

  • înmulțirea numerelor raționale este asociativă

  • \({(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)}\)

  • înmulțirea numerelor raționale este distributivă față de adunare și scădere

  • \({a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c}\)

    \({a \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c}\)

  • 1 este element neutru la înmulțire

  • \({a \cdot 1 = 1 \cdot a = a}\)

  • pentru orice număr rațional \({a}\) există numărul rațional \({a^{-1} =}\) \({\frac{1}{a}}\) astfel încât \({a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = 1}\)

  • înmulțirea unei egalități cu un factor

  • \({a = b \;\;\;\; \mid \cdot \; c}\)

    \({a \cdot c = b \cdot c }\)


  • simplificarea cu un factor nenul

  • \({a \cdot c = b \cdot c \;\;\;\; \mid \; : \; c}\) \({\;\;\;\; c \neq 0}\)

    \({a = b }\)


  • înmulțirea a două egalități

  • \({a = b }\)

    \({c = d }\)

    \({\Longrightarrow \;\;\;\; a \cdot c = b \cdot d }\)


Relațiile de ordine \({<}\), \({>}\), \({\le}\) și \({\ge}\) au proprietatea de monotonie

  • dacă înmulțim o inegalitate cu un număr pozitiv, se păstrează semnul inegalității

  • \({a < b \;\;\;\; \mid \cdot \; c \;\;\;\; \Longrightarrow \;\;\;\; a \cdot c < b \cdot c}\)

    \({-10 < 2 \;\;\;\; \mid \cdot \; 4 \;\;\;\; \Longrightarrow \;\;\;\; (-10) \cdot 4 < 2 \cdot 4}\), adică \({-40 < 8}\) adevărat

  • dacă înmulțim o inegalitate cu un număr negativ, se schimbă semnul inegalității

  • \({a < b \;\;\;\; \mid \cdot \; c \;\;\;\; \Longrightarrow \;\;\;\; a \cdot c > b \cdot c}\)

    \({-10 < -2 \;\;\;\; \mid \cdot \; (-4) \;\;\;\; \Longrightarrow \;\;\;\; (-10) \cdot (-4) > (-2) \cdot (-4)}\), adică \({40 > 8}\) adevărat