∎ Probleme care se rezolvă cu ajutorul inecuațiilor

★ Etapele rezolvării

• stabilim ce ştim şi ce trebuie să aflăm;
• notăm necunoscuta cu \({x}\) sau cu altă literă; dacă sunt mai multe necunoscute, notăm cu \({x}\) una dintre ele, iar pe celelalte le exprimăm în funcţie de \({x}\);
• scriem inecuaţia conform datelor problemei;
• rezolvăm inecuaţia;
• stabilim soluţia inecuaţiei şi formulăm răspunsul problemei;
• verificăm dacă soluţia găsită îndeplineşte condiţiile date în enunţul problemei.

★ Exemple

1. Fie \({ABC}\) un triunghi cu lungimile laturilor numere naturale. Știind că \({AB = 5 \; \text{cm}}\) și \({BC = 7 \; \text{cm}}\), ce lungime are latura \({AC}\)?

• fiecare latură a unui triunghi trebuie să fie strict mai mică decât suma lungimilor celorlalte două laturi - aceasta este condiția pentru ca trei numere să fie lungimile laturilor unui triunghi;
• \({AB < AC + BC}\) \({ \Longleftrightarrow}\) \({5 < AC + 7}\) \({ \Longleftrightarrow}\) \({5 - 7 < AC}\) \({ \Longleftrightarrow}\) \({-2 < AC}\);
• \({AC < AB + BC}\) \({ \Longleftrightarrow}\) \({AC < 5 + 7}\) \({ \Longleftrightarrow}\) \({AC < 12}\);
• \({BC < AB + AC}\) \({ \Longleftrightarrow}\) \({7 < 5 + AC}\) \({ \Longleftrightarrow}\) \({7 - 5 < AC}\) \({ \Longleftrightarrow}\) \({2 < AC}\);
• am obținut că \({2< AC < 12 }\);
• lungimea lui \({AC }\) este număr natural;
• numerele naturale cuprinse între 2 și 12 sunt 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 și 11;
• \({AC \in \{3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 \}}\);
• lungimea laturii \({AC}\) poate fi de 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 sau 11 centimetri.

2. Suma a trei numere naturale nenule este mai mică decât 20. Știm că:

• primul număr este de 3 ori mai mare decât al doilea număr;
• al treilea număr este cu 5 mai mare decât al doilea număr;
• cel mai mare număr este mai mic decât 7.

Aflați numerele.

• notăm numerele cu \({a}\), \({b}\) și \({c}\);

\({a + b + c < 20}\) \({\;\;\;(*)}\)

• primul număr este de 3 ori mai mare decât al doilea număr;

\({a = 3b}\)

• al treilea număr este cu 5 mai mare decât al doilea număr;

\({c = b + 5}\)

• cel mai mare număr este mai mic decât 7;

\({a < 7}\)

\({b < 7}\)

\({c < 7}\)

• rescriem relația \({(*)}\);

\({a + b + c < 20}\)

\({3b + b + b + 5 < 20}\)

\({5b + 5 < 20 \;\;\; \mid \; : 5}\)

\({b + 1 < 4 }\)

\({b < 4 - 1}\)

\({b < 3}\)

• cele trei numere sunt naturale, deci \({b \in \{1, 2\}}\);
• dacă \({b = 1}\), atunci \({a = 3 \cdot 1 = 3}\) și \({c = 1 + 5 = 6}\); toate sunt mai mici decât 7, deci aceasta este o variantă acceptată;
• dacă \({b = 2}\), atunci \({a = 3 \cdot 2 = 6}\) și \({c = 2 + 5 = 7}\); numărul \({c}\) este egal cu 7, deci aceasta nu este o variantă acceptată (toate numerele trebuie să fie mai mici decât 7);
• am obținut că \({a = 3}\), \({b = 1}\) și \({c = 6}\).

3. În drumul spre casă, Elena a cheltuit o treime din suma pe care o avea la ea, apoi a mai cheltuit încă 40 de lei și i-au rămas mai puțin de 15 lei. Elena a avut mai mult sau mai puțin de 100 de lei la ea?

• notăm cu \({x}\) suma de bani pe care a avut-o Elena la ea;
• o treime din sumă înseamnă \({\frac{\displaystyle x}{\displaystyle 3}}\);
• după ce a cheltuit o treime din sumă și încă 40 de lei, i-au rămas \({x - \frac{\displaystyle x}{\displaystyle 3} - 40}\) de lei

\({x - \frac{\displaystyle x}{\displaystyle 3} - 40 < 15}\)

\({ \frac{\displaystyle 2x}{\displaystyle 3} - 40 < 15}\) (întregul minus o treime ne dă două treimi)

\({ \frac{\displaystyle 2x}{\displaystyle 3} < 15 + 40}\)

\({ \frac{\displaystyle 2x}{\displaystyle 3} < 55 \;\;\; \mid \; \cdot 3}\)

\({ 2x < 55 \cdot \;3}\)

\({ 2x < 165 \;\;\; \mid \; : 2}\)

\({ x < 82{,}5}\)

• Elena a avut mai puțin de 100 de lei la ea.

4. Fie \({a}\) un număr real. Dacă adăugăm dublul lui \({a}\) la jumătate din suma dintre \({a}\) și 24, apoi scădem 15, obținem un număr care nu depășește 27. Aflați intervalul în care se află numărul \({a}\).

• dublul lui \({a}\) este \({2a}\);
• suma dintre \({a}\) și 24 este \({a + 24}\);
• jumătate din suma dintre \({a}\) și 24 este \({\frac{\displaystyle a + 24}{\displaystyle 2}}\);
• „un număr care nu depășește 27” - ne duce cu gândul la semnul \({\le }\) (mai mic sau egal)
• \({2a + \frac{\displaystyle a + 24}{\displaystyle 2} - 15 \le 27}\);

\({2a + \frac{\displaystyle a + 24}{\displaystyle 2} \le 27 + 15}\)

✦ avem o fracție; vrem să „scăpăm” de numitor, de aceea înmulțim inecuația cu numitorul fracției:

\({2a + \frac{\displaystyle a + 24}{\displaystyle 2} \le 42 \;\;\; \mid \; \cdot\; 2}\)

\({4a + a + 24 \le 84}\)

\({5a + 24 \le 84}\)

\({5a \le 84 - 24}\)

\({5a \le 60 \;\;\; \mid \; : 5}\)

\({a \le 12}\)

• \({a \in (-\infty, 12]}\)