Memorator Algebră

clasele 5 - 8














Probleme care se rezolvă cu ajutorul inecuațiilor

Etapele rezolvării

  • stabilim ce ştim şi ce trebuie să aflăm;
  • notăm necunoscuta cu \({x}\) sau cu altă literă; dacă sunt mai multe necunoscute, notăm cu \({x}\) una dintre ele, iar pe celelalte le exprimăm în funcţie de \({x}\);
  • scriem inecuaţia conform datelor problemei;
  • rezolvăm inecuaţia;
  • stabilim soluţia inecuaţiei şi formulăm răspunsul problemei;
  • verificăm dacă soluţia găsită îndeplineşte condiţiile date în enunţul problemei.




Exemple

1. Fie \({ABC}\) un triunghi cu lungimile laturilor numere naturale. Știind că \({AB = 5 \; \text{cm}}\) și \({BC = 7 \; \text{cm}}\), ce lungime are latura \({AC}\)?


  • fiecare latură a unui triunghi trebuie să fie strict mai mică decât suma lungimilor celorlalte două laturi - aceasta este condiția pentru ca trei numere să fie lungimile laturilor unui triunghi;
  • \({AB < AC + BC}\) \({ \Longleftrightarrow}\) \({5 < AC + 7}\) \({ \Longleftrightarrow}\) \({5 - 7 < AC}\) \({ \Longleftrightarrow}\) \({-2 < AC}\);
  • \({AC < AB + BC}\) \({ \Longleftrightarrow}\) \({AC < 5 + 7}\) \({ \Longleftrightarrow}\) \({AC < 12}\);
  • \({BC < AB + AC}\) \({ \Longleftrightarrow}\) \({7 < 5 + AC}\) \({ \Longleftrightarrow}\) \({7 - 5 < AC}\) \({ \Longleftrightarrow}\) \({2 < AC}\);
  • am obținut că \({2< AC < 12 }\);
  • lungimea lui \({AC }\) este număr natural;
  • numerele naturale cuprinse între 2 și 12 sunt 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 și 11;
  • \({AC \in \{3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 \}}\);
  • lungimea laturii \({AC}\) poate fi de 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 sau 11 centimetri.




2. Suma a trei numere naturale nenule este mai mică decât 20. Știm că:

  • primul număr este de 3 ori mai mare decât al doilea număr;
  • al treilea număr este cu 5 mai mare decât al doilea număr;
  • cel mai mare număr este mai mic decât 7.

Aflați numerele.


  • notăm numerele cu \({a}\), \({b}\) și \({c}\);
  • \({a + b + c < 20}\) \({\;\;\;(*)}\)

  • primul număr este de 3 ori mai mare decât al doilea număr;
  • \({a = 3b}\)

  • al treilea număr este cu 5 mai mare decât al doilea număr;
  • \({c = b + 5}\)

  • cel mai mare număr este mai mic decât 7;
  • \({a < 7}\)

    \({b < 7}\)

    \({c < 7}\)

  • rescriem relația \({(*)}\);
  • \({a + b + c < 20}\)

    \({3b + b + b + 5 < 20}\)

    \({5b + 5 < 20 \;\;\; \mid \; : 5}\)

    \({b + 1 < 4 }\)

    \({b < 4 - 1}\)

    \({b < 3}\)

  • cele trei numere sunt naturale, deci \({b \in \{1, 2\}}\);
  • dacă \({b = 1}\), atunci \({a = 3 \cdot 1 = 3}\) și \({c = 1 + 5 = 6}\); toate sunt mai mici decât 7, deci aceasta este o variantă acceptată;
  • dacă \({b = 2}\), atunci \({a = 3 \cdot 2 = 6}\) și \({c = 2 + 5 = 7}\); numărul \({c}\) este egal cu 7, deci aceasta nu este o variantă acceptată (toate numerele trebuie să fie mai mici decât 7);
  • am obținut că \({a = 3}\), \({b = 1}\) și \({c = 6}\).




3. În drumul spre casă, Elena a cheltuit o treime din suma pe care o avea la ea, apoi a mai cheltuit încă 40 de lei și i-au rămas mai puțin de 15 lei. Elena a avut mai mult sau mai puțin de 100 de lei la ea?


  • notăm cu \({x}\) suma de bani pe care a avut-o Elena la ea;
  • o treime din sumă înseamnă \({\frac{\displaystyle x}{\displaystyle 3}}\);
  • după ce a cheltuit o treime din sumă și încă 40 de lei, i-au rămas \({x - \frac{\displaystyle x}{\displaystyle 3} - 40}\) de lei
  • \({x - \frac{\displaystyle x}{\displaystyle 3} - 40 < 15}\)

    \({ \frac{\displaystyle 2x}{\displaystyle 3} - 40 < 15}\) (întregul minus o treime ne dă două treimi)

    \({ \frac{\displaystyle 2x}{\displaystyle 3} < 15 + 40}\)

    \({ \frac{\displaystyle 2x}{\displaystyle 3} < 55 \;\;\; \mid \; \cdot 3}\)

    \({ 2x < 55 \cdot \;3}\)

    \({ 2x < 165 \;\;\; \mid \; : 2}\)

    \({ x < 82{,}5}\)

  • Elena a avut mai puțin de 100 de lei la ea.




4. Fie \({a}\) un număr real. Dacă adăugăm dublul lui \({a}\) la jumătate din suma dintre \({a}\) și 24, apoi scădem 15, obținem un număr care nu depășește 27. Aflați intervalul în care se află numărul \({a}\).


  • dublul lui \({a}\) este \({2a}\);
  • suma dintre \({a}\) și 24 este \({a + 24}\);
  • jumătate din suma dintre \({a}\) și 24 este \({\frac{\displaystyle a + 24}{\displaystyle 2}}\);
  • „un număr care nu depășește 27” - ne duce cu gândul la semnul \({\le }\) (mai mic sau egal)
  • \({2a + \frac{\displaystyle a + 24}{\displaystyle 2} - 15 \le 27}\);
  • \({2a + \frac{\displaystyle a + 24}{\displaystyle 2} \le 27 + 15}\)

    ✦ avem o fracție; vrem să „scăpăm” de numitor, de aceea înmulțim inecuația cu numitorul fracției:

    \({2a + \frac{\displaystyle a + 24}{\displaystyle 2} \le 42 \;\;\; \mid \; \cdot\; 2}\)

    \({4a + a + 24 \le 84}\)

    \({5a + 24 \le 84}\)

    \({5a \le 84 - 24}\)

    \({5a \le 60 \;\;\; \mid \; : 5}\)

    \({a \le 12}\)

  • \({a \in (-\infty, 12]}\)