∎ Probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuaţiilor în mulţimea numerelor raţionale

Etape:

• stabilim ce știm și ce trebuie să aflăm;
• notăm necunoscuta cu o literă (de obicei se folosește litera \({x}\)); dacă sunt mai multe necunoscute, scriem celelalte necunoscute în funcție de \({x}\);
• scriem ecuația conform datelor problemei;
• rezolvăm ecuația;
• stabilim soluţia ecuaţiei şi formulăm răspunsul problemei;
• verificăm dacă soluţia găsită îndeplineşte condiţiile date în enunţul problemei.

Exemple:

★ Ana merge cu trenul la bunici. După ce a parcurs un sfert din drum și încă 8 kilometri, constată că mai sunt de parcurs încă 25 de kilometri. Calculați distanța pe care trebuie s-o parcurgă Ana.

• notăm cu \({x}\) distanța totală
• un sfert din distanță înseamnă \({\frac{\displaystyle x}{\displaystyle 4}}\)
• Ana a parcurs \({\frac{\displaystyle x}{\displaystyle 4} + 8}\) kilometri
• au mai rămas 25 de kilometri pe care-i scriem astfel în funcție de \({x}\): din distanța totală scădem ce a parcurs și obținem:



\({x - \frac{\displaystyle x}{\displaystyle 4} - 8 = 25}\)

aceasta este ecuația pe care trebuie s-o rezolvăm

• în primul membru al ecuației păstrăm termenii care-l conțin pe \({x}\); pe \({-8}\) îl trecem cu semn schimbat în membrul drept al ecuației, devenind \({+8}\)



\({x - \frac{\displaystyle x}{\displaystyle 4} = 25 + 8}\)

• efectuăm calculele



\({\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 4} \cdot x = 33}\)

• înmulțim ambii membri ai ecuației cu inversul coeficientului lui \({x}\)



\({\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 4} \cdot x = 33 \;\;\;\; \mid \; \cdot \;\frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 3}}\)

\({x = \overset{11}{\cancel{33}} \cdot \frac{\displaystyle 4}{\displaystyle {\underset{1}{\cancel{3}}}}}\)

\({x = 11 \cdot 4}\)

\({x = 44}\)

• distanța totală este de 44 de kilometri
• verificăm: un sfert din 44 înseamnă 11 kilometri; 11 plus 8 plus 25 ne dă 44, deci am lucrat corect

★ Marius a cheltuit în prima zi de excursie două treimi din banii pe care-i avea la el, a doua zi a cheltuit jumătate din rest și i-au mai rămas 10 lei. Câți bani a avut Marius la el?

• notăm cu \({x}\) suma totală


• în prima zi a cheltuit \({\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 3} \cdot x}\) lei


• au rămas \({x - \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 3} \cdot x}\) lei


• a doua zi a cheltuit \({\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} \left(x - \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 3} \cdot x\right)}\) lei


• au rămas 10 lei


• \({x - \text{ce} \; \text{a} \; \text{cheltuit} \; \text{în} \; \text{prima} \; \text{zi} \; - \; \text{ce} \; \text{a} \; \text{cheltuit} \; \text{a} \; \text{doua} \; \text{zi} \; = 10 \; \text{lei}}\)


• \({x - \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 3} \cdot x - \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} \left(x - \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 3} \cdot x\right) = 10}\) (aceasta este ecuația pe care trebuie s-o rezolvăm)


• \({\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3} \cdot x - \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} \cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3} \cdot x = 10 }\) (aducem la același numitor; 6 este numitorul comun)


• \({\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 6} \cdot x - \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 6} \cdot x = \frac{\displaystyle 60}{\displaystyle 6} \;\;\;\; \mid \; \cdot \; 6}\)


• \({2x - x = 60}\)


• \({x = 60}\)


• Marius a avut 60 de lei la el


• verificăm: două treimi din 60 înseamnă 40, mai rămân 20 de lei; jumătate din 20 înseamnă 10, mai rămân 10 lei; adevărat, deci am lucrat corect

★ Într-o clasă sunt 20 de elevi, băieți și fete. Știind că numărul fetelor este cu 2 mai mare decât numărul băieților, calculați câte fete și câți băieți sunt în clasă.

• avem două necunoscute: numărul fetelor și numărul băieților


• notăm cu \({x}\) numărul băieților


• numărul fetelor îl scriem în funcție de numărul băieților; înseamnă că sunt \({x + 2}\) fete


• scriem ecuația



\({x + x + 2 = 20}\)

• rezolvăm ecuația



\({2x + 2 = 20}\)

\({2x = 20 - 2}\)

\({2x = 18 \;\;\;\; \mid \; : \; 2}\)

\({x = 9}\)

• sunt 9 băieți în clasă


• \({9 + 2 = 11}\) fete


• verificăm: 11 plus 9 ne dă 20, iar 11 este cu 2 mai mare decât 9; adevărat, deci am lucrat corect