Memorator Algebră

clasele 5 - 8











Proprietățile divizibilității în mulțimea numerelor naturale

Fie \({a}\), \({b}\) și \({c}\) numere naturale diferite de 0.

  • spunem că \({a}\) divide pe \({b}\) și scriem \({a|b}\) dacă \({b}\) se împarte exact la \({a}\)
    • altfel spus, \({a}\) divide pe \({b}\) dacă și numai dacă există un număr natural \({c}\) astfel încât \({b= a\cdot c}\)
    • altfel spus, \({a}\) este un divizor al lui \({b}\)
    • altfel spus, \({b}\) este un multiplu al lui \({a}\)
    • altfel spus, \({b}\) este divizibil cu \({a}\) (scriem \({b \; \vdots \; a}\))

  • dacă \({a|b}\), atunci \({a \le b}\) (\({a}\) și \({b}\) sunt numere naturale)

  • dacă \({a = b \cdot c}\), atunci \({b|a}\) și \({c|a}\) (\({b}\) divide pe \({a}\) și \({c}\) divide pe \({a}\))
    • altfel spus: dacă \({a = b \cdot c}\), atunci \({a \; \vdots \; b}\) și \({a \; \vdots \; c}\) (\({a}\) este divizibil cu \({b}\) și \({a}\) este divizibil cu \({c}\))
    • exemplu: \({21 = 3 \cdot 7}\); avem \({3|21}\) și \({7|21}\)
  • \({1|a}\) (1 divide orice număr \({a}\))
    • altfel spus: \({a \; \vdots \; 1}\) (orice număr \({a}\) este divizibil cu \({1}\))
    • exemple: \({1|5}\), \({1|177}\) sau, altfel spus, \({5 \; \vdots \; 1}\), \({177 \; \vdots \; 1}\)
  • \({a|0}\)
    • orice număr îl divide pe 0 sau, altfel spus, 0 este divizibil cu orice număr (\({0 \; \vdots \; a}\))
    • adică 0 se împarte exact la orice număr, rezultatul fiind egal cu 0

  • dacă \({0|a}\), atunci \({a = 0}\)

  • \({a|a}\) (reflexivitatea relației de divizibilitate), adică orice număr \({a}\) se divide cu el însuși
    • altfel spus, orice număr \({a}\) este divizibil cu el însuși (\({a \; \vdots \; a}\))

  • dacă \({a|b}\) și \({b|a}\), atunci \({a = b}\) (antisimetria relației de divizibilitate)
    • de exemplu, dacă știm că \({5|a}\) și \({a|5}\), atunci \({a=5}\)

  • dacă \({a|b}\) și \({b|c}\), atunci \({a|c}\) (tranzitivitatea relației de divizibilitate)
    • de exemplu, deoarece \({2|4}\) și \({4|16}\), înseamnă că \({2|16}\) - adevărat

  • dacă \({a|b}\) și \({a|c}\), atunci \({a|(b + c)}\) (dacă un număr natural \({a}\) divide două numere naturale \({b}\) și \({c}\), atunci \({a}\) divide și suma \({b+c}\) a acestor două numere)
    • de exemplu, deoarece \({3|9}\) și \({3|12}\), înseamnă că \({3|(9+12)}\), adică \({3|21}\)

  • dacă \({a|(b+c)}\) și \({a|b}\), atunci \({a|c}\) (dacă numărul natural \({a}\) divide suma a două numere naturale și, în același timp, îl divide și pe unul dintre cele două numere, atunci \({a}\) îl divide și pe celălalt număr)
    • de exemplu, știm că \({3|9}\) și \({3|(9+a)}\); înseamnă că \({3|a}\)

  • dacă \({a|b}\) și \({a|c}\), atunci \({a|(b - c)}\), unde \({b > c}\) (dacă un număr natural divide două numere naturale, atunci el divide și diferența acestora)
    • de exemplu, știm că \({5|20}\) și \({5|30}\); înseamnă că \({5|(30-20)}\), adică \({5|10}\) - adevărat

  • dacă \({a|(b-c)}\) și \({a|b}\), atunci \({a|c}\) (dacă numărul natural \({a}\) divide diferența \({b-c}\) și un termen al acestei diferențe, atunci \({a}\) divide și celălalt termen al diferenței)
  • dacă \({a|(b-c)}\) și \({a|c}\), atunci \({a|b}\)
    • dacă numărul natural \({a}\) divide diferența \({b-c}\) și un termen al acestei diferențe, atunci \({a}\) divide și celălalt termen al diferenței
    • de exemplu, știm că \({4|(20-a)}\) și \({4|20}\); înseamnă că \({4|a}\)
    • alt exemplu: știm că \({6|(a-18)}\) și \({6|18}\); înseamnă că \({6|a}\)

  • dacă \({a|(b \cdot c)}\) și \({(a, b) = 1}\), atunci \({a|c}\) (dacă numărul natural \({a}\) divide produsul \({b \cdot c}\) și \({a}\) și \({b}\) sunt numere prime între ele, atunci \({a|c}\))
    • de exemplu, știm că \({2|(9 \cdot a)}\); deoarece \({(2,9)=1}\) (2 și 9 sunt prime între ele, adică nu au alți divizori comuni în afară de 1), înseamnă că \({2|a}\)

  • dacă \({a|b}\), atunci \({a|(b \cdot c)}\)
  • dacă \({a|b}\), atunci \({(n \cdot a)|(n \cdot b)}\), unde \({n}\) este număr natural
  • dacă \({(b \cdot c)|a}\), atunci \({b|a}\) și \({c|a}\)
  • dacă \({b|a}\) și \({c|a}\), atunci \({(b \cdot c)|a}\)