Memorator Algebră

clasele 5 - 8













Ecuațiile de forma \({ax + b = 0 }\), \({a, b \in \mathbf{R}}\) se numesc ecuații de gradul 1 cu o necunoscută sau ecuații liniare cu o necunoscută. Dacă cel mai mare exponent al necunoscutei este 1, atunci ecuația se numește liniară.

  • \({x}\) este necunoscuta;
  • \({a}\) este coeficientul necunoscutei;
  • \({b}\) este termenul liber.

Numim soluție sau rădăcină a unei ecuații un număr care aparține domeniului ecuației și care, pus în locul necunoscutei, face ca egalitatea să fie adevărată.

A rezolva o ecuație înseamnă să găsim toate soluțiile sale. De obicei, mulțimea soluțiilor unei ecuații se notează cu \({S}\).

Mulțimea în care vrem să găsim soluțiile ecuației se numește domeniul ecuației. Dacă nu este precizat domeniul în enunț, atunci sunt acceptate toate soluțiile găsite. Dacă găsim valori ale necunoscutei care verifică ecuația, dar nu aparțin domeniului, nu le vom considera soluții ale ecuației.

  • să rezolvăm în \({\mathbf{N}}\) ecuația \({x + \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} = 1}\);
  • \({\mathbf{N}}\) este domeniul ecuației (mulțimea numerelor naturale); vrem să găsim soluția care este număr natural;
  • jumătate plus jumătate ne dă 1 întreg, deci \({x = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}}\)
  • dar \({\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}}\) nu este număr natural, așa cum se cere în enunț;
  • înseamnă că ecuația \({x + \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} = 1}\) nu are soluții în \({\mathbf{N}}\);
  • scriem mulțimea soluțiilor \({S = ∅}\) .
  • obsevăm că ecuația are soluția \({x = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}}\) în \({\mathbf{Q}}\) (mulțimea numerelor raționale), dar nu are soluție în \({\mathbf{N}}\) (mulțimea numerelor naturale).

Două ecuații sunt echivalente dacă au aceleași soluții și același domeniu.

Când rezolvăm o ecuație, o transformăm succesiv într-o serie de ecuații echivalente, până când obținem o valoare a necunoscutei \({x}\) (folosim transformările echivalente).





Dacă ecuația pe care vrem s-o rezolvăm are forma generală \({ax + b = 0 }\), atunci:

  • separăm termenii:
    • într-un membru - termenii care conțin necunoscuta;
    • în celălalt membru - termenii liberi.
  • împărțim ambii membri cu coeficientul necunoscutei (sau înmulțim ambii membri cu inversul coeficientului necunoscutei).
  • Exemplu:
    • să rezolvăm în \({\mathbf{R}}\) ecuația \({5x + 3 = 0}\)
    • pe +3 îl trecem cu semn schimbat în membrul drept; devine -3

      \({5x = -3 \; \; \; \; \mid \; : \;5}\)

      împărțim ambii membri ai ecuației cu 5

      \({x = -\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 5} }\) număr real

      scriem mulțimea soluțiilor ecuației

      \({S = \left\{-\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 5}\right\} }\)





Dacă ecuația pe care vrem s-o rezolvăm nu are forma generală \({ax + b = 0 }\), atunci:

  • o aducem la forma generală de mai sus sau separăm direct termenii, efectuând calculele necesare, cum ar fi: aducere la același numitor și apoi eliminare numitor, desființare paranteze, adunarea sau scăderea în ambii membri ai ecuației a aceluiași număr, înmulțirea sau împărțirea ambilor membri ai ecuației cu același număr nenul, trecerea termenilor cu semn schimbat dintr-un membru al ecuației în celălalt membru.
  • continuăm rezolvarea ecuației cum am scris mai sus.
  • Exemplu:
    • să rezolvăm în \({\mathbf{R}}\) ecuația \({\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}x + 5 = 2x - 3}\), \({x \in \mathbf{R}}\)
    • domeniul este \({ \mathbf{R}}\) pentru că se precizează că \({x \in \mathbf{R}}\)

      separăm termenii: în membrul stâng termenii care conțin necunoscuta, iar în membrul drept termenii liberi

      atenție! trecerea dintr-un membru în celălalt se face cu semn schimbat

      \({\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}x - 2x = - 3 - 5}\)

      efectuăm calculele;

      \({\left(\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} - 2\right)x = - 8}\)

      \({-\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 2}x = - 8 \; \; \; \; \; \mid \; \;\cdot \; \left(-\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}\right)}\)

      \({x = 8 \cdot \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}}\)

      \({x = \frac{\displaystyle 16}{\displaystyle 3}}\) număr real

      scriem mulțimea soluțiilor ecuației

      \({S = \left\{\frac{\displaystyle 16}{\displaystyle 3}\right\} }\)





Dacă ecuația are ca termeni fracții cu necunoscuta la numitor, trebuie să punem condiția ca numitorul să fie diferit de 0.


Exemplu:

  • să rezolvăm ecuația \({\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle x} - \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle x - 2} = 0}\)
  • necunoscuta apare la numitorii fracțiilor, de aceea trebuie să punem condițiile:
    • \({x \neq 0}\) pentru fracția \({\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle x} }\)
    • \({x - 2 \neq 0 \Longleftrightarrow x \neq 2}\) pentru fracția \({\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle x - 2} }\)
  • rezultă că domeniul ecuației este \({\mathbf{R} - \left\{0, 2\right\}}\)
  • aducem fracțiile la același numitor; amplificăm prima fracție cu \({x - 2} \), iar pe a doua cu \({x} \)
  • numitorul comun este \({x(x - 2)} \)diferit de 0, pentru că \({x \in \mathbf{R} - \left\{0, 2\right\}}\)
  • \({\frac{\displaystyle 2(x - 2) - x}{\displaystyle x(x - 2)} = 0}\)
  • pentru ca o fracție să fie egală cu 0 este necesar ca numărătorul să fie egal cu 0
  • \({2(x - 2) - x = 0}\)
  • \({2x - 4 - x = 0}\)
  • \({x - 4 = 0}\)
  • separăm termenii; trecem termenul liber în membrul drept al ecuației, cu semn schimbat; -4 devine +4
  • \({x = 4\in \mathbf{R} - \left\{0, 2\right\}}\)
  • scriem mulțimea soluțiilor ecuației
  • \({S = \left\{4\right\} }\)