A.

a) dacă \({a \mid 16 }\), atunci \({a \mid }\) orice multiplu al lui 16

• de exemplu, dacă \({a \mid 16 }\), atunci \({a \mid 160 }\).

b) dacă \({a \mid 25 }\), atunci \({2a \mid }\) 50

• dacă divizorul este înmulțit cu 2, atunci, pentru a păstra relația de divizibilitate, trebuie să înmulțim și multiplul tot cu 2;
• dacă \({a \mid 25 }\), atunci \({2a \mid (2 \cdot 25) }\), adică \({2a \mid 50 }\).

c) dacă \({11 \mid a }\), atunci 55 \({\mid 5a }\)

• dacă multiplul este înmulțit cu 5, atunci, pentru a păstra relația de divizibilitate, trebuie să înmulțim și divizorul tot cu 5;
• dacă \({11 \mid a }\), atunci \({(5 \cdot 11) \mid 5a }\), adică \({55 \mid 5a }\).

d) dacă \({a \mid 14 }\), atunci \({4a \mid }\) 56

• dacă divizorul este înmulțit cu 4, atunci, pentru a păstra relația de divizibilitate, trebuie să înmulțim și multiplul tot cu 4;
• dacă \({a \mid 14 }\), atunci \({4a \mid (4 \cdot 14) }\), adică \({4a \mid 56 }\).

e) dacă \({8 \mid a }\), atunci 48 \({\mid 6a }\)

• dacă multiplul este înmulțit cu 6, atunci, pentru a păstra relația de divizibilitate, trebuie să înmulțim și divizorul tot cu 6;
• dacă \({8 \mid a }\), atunci \({(6 \cdot 8) \mid 6a }\), adică \({48 \mid 6a }\).

f) dacă \({5a \mid 125 }\), atunci \({a \mid }\) 25

• dacă divizorul și multiplul au un factor comun, atunci îi putem împărți cu factorul comun;
• \({5a \mid 125 }\) înseamnă \({5a \mid (5 \cdot 25) }\); 5 este factor comun și pentru divizor, și pentru multiplu; împărțim cu 5 și obținem \({a \mid 25 }\).

g) dacă \({6 \mid a }\) și \({7 \mid a }\), atunci 42 \({\mid 6a }\)

• dacă \({6 \mid a }\) și \({7 \mid a }\), înseamnă că 6 și 7 sunt divizori ai lui \({7 \mid a }\); rezultă că și produsul \({6 \cdot 7 }\) este divizor al lui \({a }\), adică \({42 \mid a }\).

h) dacă \({5 \mid a }\) și 15 \({\mid a }\), atunci \({ 75 \mid a}\)

• notăm cu \({x }\) divizorul pe care trebuie să-l aflăm;
• dacă \({5 \mid a }\) și \({x \mid a }\), înseamnă că și produsul \({5 \cdot x }\) este divizor al lui \({a }\), adică \({5x \mid a }\);
• înseamnă că \({5x = 75 }\), rezultă că \({x = 75 : 5 }\), adică \({x = 15 }\).

i) dacă \({27 \mid a }\), atunci orice divizor al lui 27 \({\mid a }\)

• factorii lui 27 sunt 1, 3, 9, 27; putem completa caseta cu oricare dintre acești factori.

j) dacă 140 sau orice multiplu al lui \({ \mid a }\), atunci \({10 \mid a}\) și \({ 14 \mid a}\)

• fie \({x}\) divizorul lui \({a}\) pe care trebuie să-l completăm în casetă;
• deoarece 10 și 14 sunt divizori ai lui \({a}\), înseamnă că orice multiplu comun al lui 10 și 14 este divizor al lui \({a}\); cel mai mic multiplu comun al lui 10 și 14 este 140;
• rezultă că putem completa caseta cu 140 sau cu orice multiplu al lui.

k) dacă \({a \mid 56 }\), atunci \({a \mid }\) orice multiplu al lui 56

• de exemplu, dacă \({a \mid 56 }\), atunci \({a \mid 112 }\).

l) dacă \({a \mid }\) orice divizor al lui 20, atunci \({a \mid 20 }\)

• dacă \({a }\) îl divide pe \({x }\), atunci \({a }\) îl divide pe orice multiplu al lui \({x }\);
• înseamnă că 20 este multiplu al lui \({x }\), sau, altfel spus, \({x }\) este divizor al lui 20;
• putem completa caseta cu oricare dintre divizorii lui 20: 1, 2, 4, 5, 10 și 20.

m) dacă \({a \mid 10 }\) și \({a \mid 6 }\), atunci \({a \in \{ }\)1, 2\({ \}}\)

• dacă \({a }\) divide pe 10 și pe 6, atunci \({a }\) este divizor comun al celor două numere;
• divizorii lui 10 sunt 1, 2 5 și 10;
• divizorii lui 6 sunt 1, 2, 3 și 6;
• divizorii comuni sunt 1 și 2.

B.

a) dacă \({2 \mid a }\) și \({6 \mid a }\), atunci \({12 \mid a}\) A

• dacă două numere îl divid pe \({a}\), atunci și produsul lor îl divide pe \({a}\).

b) dacă \({a \mid 2 }\) și \({a \mid 6 }\), atunci \({a \mid 12}\) A

• \({a}\) este divizor al lui 2, deci \({a}\) divide orice multiplu al lui 2;
• \({a}\) este divizor al lui 6, deci \({a}\) divide orice multiplu al lui 6.

c) dacă \({2 \mid a }\) și \({6 \mid a }\), atunci \({8 \mid a}\) F

• suma divizorilor unui număr nu divide acel număr.

d) dacă \({6 \mid 7a }\), atunci \({6 \mid a}\) A

• deoarece 6 divide produsul a două numere, înseamnă că 6 divide cel puțin unul dintre cele două numere;
• 6 și 7 sunt numere prime între ele, deci 6 nu-l divide pe 7;
• înseamnă că 6 îl divide pe \({a}\).

e) dacă \({5 \mid 3a }\), atunci \({5 \mid a}\) A

• deoarece 5 divide produsul a două numere, înseamnă că 5 divide cel puțin unul dintre cele două numere;
• 5 și 3 sunt numere prime între ele, deci 5 nu-l divide pe 3;
• înseamnă că 5 îl divide pe \({a}\).

f) dacă \({a \mid 6 }\) și \({a \mid 20 }\), atunci \({a \mid 26}\) A

• dacă \({a}\) divide două numere, atunci \({a}\) divide și suma celor două numere.

g) dacă \({a \mid 6 }\) și \({a \mid 20 }\), atunci \({a \mid 14}\) A

• dacă \({a}\) divide două numere, atunci \({a}\) divide și diferența celor două numere.

h) dacă \({a \mid 18 }\) și \({a \mid 6 }\), atunci \({a \mid 12}\) A

• dacă \({a}\) divide două numere, atunci \({a}\) divide și diferența celor două numere.

i) dacă \({a \mid 18 }\) și \({18 \mid b }\), atunci \({a \mid b}\) A

• se aplică tranzitivitatea relației de divizibilitate.