Memorator Algebră

clasele 5 - 8













Aproximarea rădăcinii pătrate a unui număr rațional pozitiv

Pentru a aproxima rădăcina pătrată a unui număr rațional \({x}\), încadrăm numărul \({x}\) între două pătrate perfecte consecutive:

Dacă \({n^2 \le x < (n + 1)^2}\), \({n \in ℕ}\) rezultă că \({n \le \sqrt{x} < n + 1}\).





Exemple

1) Să aproximăm numărul \({\sqrt{56}}\).

  • numărul 56 este cuprins între 49 și 64 - două pătrate perfecte consecutive
  • avem \({49 < 56 < 64}\)
  • rezultă că \({\sqrt{49} < \sqrt{56} < \sqrt{64}}\)
  • adică \({7 < \sqrt{56} < 8}\)
  • rezultă că \({\sqrt{56} \approx 7}\) sau \({\sqrt{56} \approx 8}\) (semnul \({\approx}\) înseamnă „aproximativ egal”)
  • dacă vrem să găsim o încadrare mai bună a lui \({\sqrt{56}}\), la nivelul zecimilor, continuăm prin încercări; calculăm \({(7{,}5)^2 = 56{,}25}\) (\({7{,}5}\) este la mijloc, între 7 și 8); înseamnă că \({7 < \sqrt{56} < 7{,}5}\)
  • continuăm prin încercări până când îl încadrăm pe \({\sqrt{56}}\) între două numere care diferă printr-o zecime;
  • calculăm \({(7{,}2)^2 = 51{,}84}\) (\({7{,}2}\) este cam la jumătatea distanței dintre \({7}\) și \({7{,}5}\)); înseamnă că \({7{,}2 < \sqrt{56} < 7{,}5}\)
  • calculăm \({(7{,}3)^2 = 53{,}29}\) ; înseamnă că \({7{,}3 < \sqrt{56} < 7{,}5}\)
  • calculăm \({(7{,}4)^2 = 54{,}76}\) ; înseamnă că \({7{,}4 < \sqrt{56} < 7{,}5}\)
  • \({\sqrt{56}}\) se aproximează prin lipsă cu o eroare mai mică de o zecime cu \({7{,}4}\)
  • sau \({\sqrt{56}}\) se aproximează prin adaos cu o eroare mai mică de o zecime cu \({7{,}5}\)
  • dacă vrem să găsim o încadrare și mai bună a lui \({\sqrt{56}}\), la nivelul sutimilor, continuăm prin încercări; calculăm \({(7{,}45)^2 = 55{,}5}\) (\({7{,}45}\) este cam la jumătatea distanței dintre \({7{,}4}\) și \({7{,}5}\)); înseamnă că \({7{,}45 < \sqrt{56} < 7{,}5}\)
  • continuăm prin încercări până când îl încadrăm pe \({\sqrt{56}}\) între două numere care diferă printr-o sutime;
  • calculăm \({(7{,}47)^2 = 55{,}8}\) (\({7{,}47}\) este cam la jumătatea distanței dintre \({7{,}45}\) și \({7{,}5}\)); înseamnă că \({7{,}47 < \sqrt{56} < 7{,}5}\)
  • calculăm \({(7{,}48)^2 = 55{,}95}\) ; înseamnă că \({7{,}48 < \sqrt{56} < 7{,}5}\)
  • calculăm \({(7{,}49)^2 = 56{,}1}\) ; înseamnă că \({7{,}48 < \sqrt{56} < 7{,}49}\)
  • \({\sqrt{56}}\) se aproximează prin lipsă cu o eroare mai mică de o sutime cu \({7{,}48}\)
  • sau \({\sqrt{56}}\) se aproximează prin adaos cu o eroare mai mică de o sutime cu \({7{,}49}\)
  • putem continua aproximarea la nivelul miimilor etc.

2) Să aproximăm numărul \({\sqrt{39{,}5}}\).

  • numărul 39,5 este cuprins între 36 și 49 - două pătrate perfecte consecutive
  • avem \({36 < 39{,}5 < 49}\)
  • rezultă că \({\sqrt{36} < \sqrt{39{,}5} < \sqrt{49}}\)
  • adică \({6 < \sqrt{39{,}5} < 7}\)
  • rezultă că \({\sqrt{39{,}5} \approx 6}\) sau \({\sqrt{39{,}5} \approx 7}\). Deoarece 39,2 este mai apropiat de 36, estimăm că \({\sqrt{39{,}5} \approx 6}\).

Dacă vrem să aproximăm rădăcina pătrată a unei fracții zecimale, putem să scriem mai întâi fracția zecimală ca fracție ordinară cu numitorul putere pară a lui 10.

Dacă \({a = }\) \({\frac{n}{10^{2k}}}\), atunci \({\sqrt{a} = }\) \({\frac{\sqrt{n}}{10^k}}\), unde \({n, k}\) sunt numere naturale, iar \({a}\) este o fracție zecimală finită.





Exemplu

Să aproximăm numărul \({\sqrt{33{,}7}}\).

  • scriem fracția zecimală 33,7 ca fracție ordinară, astfel:
  • \({33{,}7 = 33{,}70 = }\) \({\frac{3370}{100} = \frac{3370}{10^2}}\)

  • avem \({\sqrt{33{,}7} = }\) \({\sqrt{\frac{3370}{10^2}} = \frac{\sqrt{3370}}{\sqrt{10^2}} = \frac{\sqrt{3370}}{10}}\)
  • aproximăm numărul \({\sqrt{3370}}\)
    • numărul 3370 este situat între două pătrate perfecte: 2500 (= 502) și 3600 (= 602); acestea nu sunt pătrate perfecte consecutive, deci aproximare aceasta este foarte inexactă; căutăm două pătrate perfecte consecutive cuprinse între 2500 și 3600 și între care este numărul 3370;
    • încercăm mai întâi cu 552 = 3025 și cu 562 = 3136; sunt prea mici;
    • încercăm cu 572 = 3249 și cu 582 = 3364; 3364 pare a cel mai mare pătrat perfect mai mic decât 3370;
    • calculăm 592 = 3481; este cel mai mic pătrat perfect mai mare decât 3370;
    • cele două pătrate perfecte consecutive între care este 3370 sunt 3364 și 3481;
    • \({3364 < 3370 < 3481}\)
    • \({\sqrt{58^2} < \sqrt{3370} < \sqrt{59^2}}\)
    • \({58 < \sqrt{3370} < 59}\)
    • \({\sqrt{3370} \approx 58}\) pentru că 3370 este mai aproape de 3364 decât de 3481
    • \({\sqrt{33{,}7} = }\) \({\frac{\sqrt{3370}}{10} \approx \frac{58}{10}}\)
    • \({\sqrt{33{,}7}}\) \({ \approx 5{,}8}\)