Memorator Algebră

clasele 5 - 8













Împărțirea numerelor reale

Numărul care se împarte se numește deîmpărțit. Numărul la care se împarte se numește împărțitor. Rezultatul împărțirii se numește cât.


Împărțirea numerelor reale - deîmpărțit, împărțitor, cât


Împărțirea la 0 nu are sens. Pentru împărțirea \({a : b}\), unde \({a }\) și \({b }\) sunt numere reale, punem condiția \({b \neq 0}\).


Pentru a împărți două numere reale, procedăm astfel:

  • mai întâi, stabilim semnul rezultatului, folosind regula semnelor (vezi mai jos);
  • folosim regulile de împărțire a numerelor raționale și cele pentru radicali - vezi mai jos (sau aproximări ale radicalilor).




Regula semnelor

  • \({+ \cdot + = + }\)
  • \({- \cdot - = + }\)
  • (dacă deîmpărțitul și împărțitorul au același semn, rezultatul are semnul +)

  • \({+ \cdot - = - }\)
  • \({- \cdot + = - }\)
  • (dacă deîmpărțitul și împărțitorul au semne diferite, rezultatul are semnul -)


Reguli de calcul

  • a împărți un număr \({a}\) la un număr \({b}\) înseamnă a înmulți numărul \({a}\) cu inversul numărului \({b}\):


  • \({a : b = a \cdot b^{-1} = a \cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle b} }\), cu \({b \neq 0}\)



  • \({\frac{\displaystyle \sqrt{x}}{\displaystyle \sqrt{y}} = \sqrt{\frac{\displaystyle x}{\displaystyle y}}}\), cu \({x \ge 0}\) și \({y > 0}\)


  • \({\frac{\displaystyle a\sqrt{x}}{\displaystyle b\sqrt{y}} =\frac{\displaystyle a}{\displaystyle b}\sqrt{\frac{\displaystyle x}{\displaystyle y}}}\), cu \({x \ge 0}\), \({y > 0}\), \({b \neq 0}\)


  • \({(a\sqrt{x}) : (b\sqrt{y}) = (a : b)\sqrt{x : y}}\)


  • Atenție! Dacă nu scriem parantezele, atunci vom obține alt rezultat, conform ordinii operațiilor:


    \({a\sqrt{x} : b\sqrt{y} = a \cdot \sqrt{x} : b \cdot \sqrt{y} }\)



    \({(4\sqrt{10000}) : (2\sqrt{100}) =}\)

    \({= (4 : 2)\sqrt{10000 : 100}}\)

    \({= 2\sqrt{100}}\)

    \({= 2 \cdot 10}\)

    \({= 20}\)


    \({4\sqrt{10000} : 2\sqrt{100} = }\)

    \({= 4 \cdot \sqrt{10000} : 2 \cdot \sqrt{100} }\)

    \({= 4 \cdot 100 : 2 \cdot 10 }\)

    \({= 400 : 2 \cdot 10 }\)

    \({= 200 \cdot 10 }\)

    \({= 2000 }\)





Exemple

\({(-15) : (-3\sqrt{5}) =}\)

\({= (15 : 3)\sqrt{5} }\)

\({= 5\sqrt{5} }\)


\({(2\sqrt{6}) : \sqrt{2} =}\)

\({= 2\sqrt{6} \cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \sqrt{2}} }\)

\({= 2 \cdot \frac{\displaystyle \sqrt{6}}{\displaystyle \sqrt{2}} }\)

\({= 2 \sqrt{6 : 2} }\)

\({= 2 \sqrt{3} }\)


\({(\frac{\displaystyle 5}{\displaystyle 2}\sqrt{8}) : (-\frac{\displaystyle 2\sqrt{6}}{\displaystyle 3}) =}\)

\({= -\frac{\displaystyle 5}{\displaystyle 2}\sqrt{8} \cdot \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 2\sqrt{6}} }\)

\({= -\frac{\displaystyle 5 \cdot 3}{\displaystyle 2 \cdot 2} \cdot \sqrt{\frac{\displaystyle {\cancel{8}}^4}{\displaystyle {\cancel{6}}_3}} }\)

\({= -\frac{\displaystyle 15}{\displaystyle 4} \cdot \sqrt{\frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 3}} }\)

\({= -\frac{\displaystyle 15}{\displaystyle 4} \cdot \frac{\displaystyle \sqrt{4}}{\displaystyle \sqrt{3}} }\)

\({= -\frac{\displaystyle 15}{\displaystyle {\cancel{4}}_2} \cdot \frac{\displaystyle {\cancel{2}}}{\displaystyle \sqrt{3}} }\)

\({= -\frac{\displaystyle 15}{\displaystyle 2\sqrt{3}} }\) (raționalizăm numitorul, adică amplificăm fracția cu \({\sqrt{3} }\), pentru a nu avea radical la numitor)

\({= -\frac{\displaystyle 15\sqrt{3}}{\displaystyle 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} }\)

\({= -\frac{\displaystyle {\cancel{15}}^{5}\sqrt{3}}{\displaystyle 2 \cdot {\cancel{3}}} }\)

\({= -\frac{\displaystyle 5\sqrt{3}}{\displaystyle 2 } }\)


\({(-15\frac{\displaystyle \sqrt{3}}{\displaystyle \sqrt{2}}) : (\frac{\displaystyle \sqrt{6}}{\displaystyle \sqrt{5}}) =}\)

\({= -15\frac{\displaystyle {\cancel{\sqrt{3}}}}{\displaystyle \sqrt{2}} \cdot \frac{\displaystyle \sqrt{5}}{\displaystyle {\cancel{\sqrt{6}}}_{\sqrt{2}}}}\)

\({= -\frac{\displaystyle 15\sqrt{5}}{\displaystyle \sqrt{4}}}\)

\({= -\frac{\displaystyle 15\sqrt{5}}{\displaystyle 2}}\)





Pentru a efectua o împărțire în care unul dintre factori este număr irațional, se poate folosi o aproximare a acestuia:

» \({\sqrt{17} = 4{,}12310\dots}\)

\({\sqrt{17} \approx 4{,}123}\)

\({\sqrt{17} : 3 = 4{,}123 : 3 = 1{,}374}\)


» \({\sqrt{3} = 1{,}7320508\dots}\)

\({\sqrt{3} \approx 1{,}732}\)

\({5 : \sqrt{3} = 5 : 1{,}732 = 5000 : 1732 = 2{,}886}\)


Proprietățile împărțirii numerelor reale

  • împărțirea este distributivă față de adunare și scădere
  • \({(a + b) : c = a : c + b : c}\)

    \({(a - b) \cdot c = a : c - b : c}\)

  • 0 împărțit la orice număr ne dă 0
  • \({0 : a = 0}\)