Memorator Algebră

clasele 5 - 8













Probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuaţiilor în \({ℤ}\)

Etapele rezolvării

  • stabilim ce ştim şi ce trebuie să aflăm;
  • notăm necunoscuta cu \({x}\) sau cu altă literă; dacă sunt mai multe necunoscute, notăm cu \({x}\) una dintre ele, iar pe celelalte le exprimăm în funcţie de \({x}\);
  • scriem ecuaţia conform datelor problemei;
  • rezolvăm ecuaţia;
  • stabilim soluţia ecuaţiei şi formulăm răspunsul problemei;
  • verificăm dacă soluţia găsită îndeplineşte condiţiile date în enunţul problemei.




Exemple

  • Dacă se aşează câte doi elevi în bancă, rămân 5 elevi în picioare; dacă se aşează câte 3 elevi în bancă, rămân două bănci libere. Câţi elevi şi câte bănci sunt?
  • avem două necunoscute: numărul băncilor şi numărul elevilor
  • notăm cu \({x}\) numărul băncilor şi încercăm să scriem numărul elevilor în funcţie de numărul băncilor
  • prima situaţie: Dacă se aşează câte doi elevi în bancă, rămân 5 elevi în picioare
    • doi elevi în bancă înseamnă \({2x}\) elevi
    • rămân 5 elevi în picioare înseamnă \({ + 5}\)
    • prima situaţie scrisă sub formă de ecuaţie: \({2x + 5}\)
    • \({2x + 5}\) înseamnă numărul elevilor scris folosind datele din prima situaţie.
  • a doua situaţie: Dacă se aşează câte 3 elevi în bancă, rămân două bănci libere
    • rămân două bănci libere
    • înseamnă că băncile ocupate cu elevi sunt \({x - 2}\)
    • în aceste \({x - 2}\) bănci stau câte 3 elevi, deci avem \({3(x - 2)}\) elevi (atenţie! nu \({3x}\) elevi)
    • \({3(x - 2)}\) înseamnă numărul elevilor scris folosind datele din a doua situaţie.
  • numărul elevilor este acelaşi în ambele situaţii
  • înseamnă că \({2x + 5 = 3(x - 2)}\)
  • rezolvăm ecuaţia \({2x + 5 = 3(x - 2)}\)
    • \({2x + 5 = 3x - 6}\)
    • \({3x - 2x = 5 + 6}\)
    • \({x = 11}\); avem 11 bănci
    • înlocuim numărul băncilor în una dintre cele două situaţii pentru a calcula numărul elevilor
    • \({2x + 5 = 2 \cdot 11 + 5 = 27}\) elevi
  • sunt 11 bănci şi 27 de elevi




  • Suma a trei numere consecutive este 276. Calculaţi numerele.
  • numerele consecutive le notăm cu \({x}\), \({x + 1}\) şi \({x + 2}\)
  • scriem ecuaţia \({x + x + 1 + x + 2 = 276}\)
  • \({3x + 3 = 276}\)
  • \({3x = 276 - 3}\)
  • \({3x = 273 \;\;\;\; \mid :3}\)
  • \({x = 91}\)
  • numerele sunt 91, 92 şi 93
  • verificăm: \({91 + 92 + 93 = 276}\)




  • Din triplul unui număr întreg se scade 25 şi se obţine 17. Aflaţi numărul.
  • notăm cu \({x}\) numărul întreg pe care vrem să-l aflăm
  • triplul unui număr întreg înseamnă \({3x}\)
  • scădem 25 înseamnă -25
  • scriem ecuaţia corespunzătoare problemei \({3x - 25 = 17}\)
  • \({3x = 25 + 17}\)
  • \({3x = 42 \;\;\;\; \mid :3}\)
  • \({x = 14}\)
  • facem proba: \({3 \cdot 14 - 25 = 42 - 25 = 17}\)
  • numărul căutat este 14, este număr întreg aşa cum cere problema