Inecuația de gradul I în \({ℤ}\)

∎ Inecuația este o inegalitate în care avem un termen necunoscut (notat de obicei cu litera \({x}\)). Acest termen necunoscut se numeşte necunoscuta inecuaţiei.

∎ Inecuația de gradul I este de forma \({ax + b > 0}\) (semnul poate fi \({<}\), \({>}\), \({\le}\), \({\ge}\)).

• \({ a}\) este coeficientul necunoscutei
• \({ b}\) este termenul liber
• ce este înaintea semnului \({>}\) se numeşte membrul 1 al inecuaţiei
• ce este după semnul \({>}\) se numeşte membrul 2 al inecuaţiei

∎ Soluţia inecuației de gradul I este valoarea pentru care inegalitatea este adevărată.

∎ Rezolvarea inecuației de gradul I înseamnă găsirea mulţiimii soluţiilor acesteia. Spre deosebire de ecuaţia de gradul I, care poate avea cel mult o soluţie, inecuaţia de gradul I poate avea o infinitate de soluţii.

∎ Soluţia inecuației de gradul I în \({ℤ}\) este numărul întreg pentru care inegalitatea este adevărată.

∎ Cum rezolvăm inecuația de gradul I

• trecem într-un membru toți termenii care conțin necunoscuta \({x}\), iar în cealalt membru termenii liberi (care nu conțin necunoscuta \({x}\)).

Trecerea dintr-o parte în alta a egalului se face schimbând semnul: plus devine minus, minus devine plus.

• se efectuează calculele în fiecare membru
• se obţine o nouă inecuaţie de forma \({ax > b}\) (echivalentă cu inecuaţia dată)
• se împart ambii membri ai inecuaţiei \({ax > b}\) cu coeficientul \({a}\) al necunoscutei; soluţia inecuaţiei date este formată din mulţimea numărelor întregi pentru care inegalitatea este adevărată

Important! Reguli de calcul

• dacă adunăm acelaşi număr la ambii membri ai unei inecuaţii, obţinem o inecuaţie echivalentă cu cea dată
• dacă scădem acelaşi număr din ambii membri ai unei inecuaţii, obţinem o inecuaţie echivalentă cu cea dată
• !!! dacă înmulţim sau împărţim cu acelaşi număr pozitiv ambii membri ai unei inecuaţii, obţinem o inecuaţie echivalentă cu cea dată
• !!! dacă înmulţim sau împărţim cu acelaşi număr negativ ambii membri ai unei inecuaţii, se schimbă sensul inegalităţii şi obţinem o inecuaţie echivalentă cu cea dată

Exemple de inecuaţii de gradul I în \({ℤ}\)

• \({3x + 3 > 9x - 15}\)

• trecem în primul membru toți termenii care conțin necunoscuta \({x}\), iar în membrul al doilea termenii liberi (care nu conțin necunoscuta \({x}\)).

+3 trece în partea cealaltă şi devine -3

\({9x}\) trece în partea cealaltă şi devine \({-9x}\)

\({3x - 9x > -3 - 15}\)

• se efectuează calculele în fiecare membru

\({-6x > -18}\)

• se împart ambii membri cu -6; acesta este număr negativ, deci se schimbă sensul inegalităţii, adică semnul \({>}\) devine \({<}\)
• \({x < -3}\) şi \({x \in ℤ}\)
• mulţimea soluţiilor inecuaţiei este \({ S = \{..., -2, -1, 0, 1, 2\}}\).

• \({7x + 2 \le}\) \({\frac{14}{5}}\)

• în primul membru rămâne termenul care conţine necunoscuta \({x}\), iar în membrul al doilea vom avea termenii liberi

+2 trece în partea cealaltă şi devine -2

\({7x \le}\) \({\frac{14}{5}}\) \({- 2}\)

• efectuăm calculul în membrul al doilea

\({7x \le}\) \({\frac{14}{5} - \frac{10}{5}}\)

\({7x \le}\) \({\frac{4}{5}}\)

• se împart ambii membri cu 7

\({x \le }\) \({\frac{4}{5} \cdot \frac{1}{7}}\)

\({x \le }\) \({\frac{4}{35} }\) şi \({x \in ℤ}\)

\({\frac{4}{35} }\) \({< 1 }\)

• mulţimea soluţiilor inecuaţiei este \({ S = \{..., -2, -1, 0\}}\).

\({ S = ℤ_- \cup \{0\}}\)

Dacă vreți să susțineți funcționarea și dezvoltarea mathema.ro, puteți contribui prin donație. Aceasta nu elimină reclamele existente, dar îmi permite să accelerez dezvoltarea website-ului și să acopăr costurile de funcționare.

Nume titular: GEORGIU LIVIA-NICOLETA

IBAN: RO20BTRLRONCRT0287588001

SWIFT: BTRLRO22

Mulțumesc! ❤️