Memorator Algebră

clasele 5 - 8













Inecuația de gradul I în \({ℤ}\)

Inecuația este o inegalitate în care avem un termen necunoscut (notat de obicei cu litera \({x}\)). Acest termen necunoscut se numeşte necunoscuta inecuaţiei.

Inecuația de gradul I este de forma \({ax + b > 0}\) (semnul poate fi \({<}\), \({>}\), \({\le}\), \({\ge}\)).

  • \({ a}\) este coeficientul necunoscutei
  • \({ b}\) este termenul liber
  • ce este înaintea semnului \({>}\) se numeşte membrul 1 al inecuaţiei
  • ce este după semnul \({>}\) se numeşte membrul 2 al inecuaţiei




Soluţia inecuației de gradul I este valoarea pentru care inegalitatea este adevărată.

Rezolvarea inecuației de gradul I înseamnă găsirea mulţiimii soluţiilor acesteia. Spre deosebire de ecuaţia de gradul I, care poate avea cel mult o soluţie, inecuaţia de gradul I poate avea o infinitate de soluţii.

Soluţia inecuației de gradul I în \({ℤ}\) este numărul întreg pentru care inegalitatea este adevărată.

Cum rezolvăm inecuația de gradul I

  • trecem într-un membru toți termenii care conțin necunoscuta \({x}\), iar în cealalt membru termenii liberi (care nu conțin necunoscuta \({x}\)).
  • Trecerea dintr-o parte în alta a egalului se face schimbând semnul: plus devine minus, minus devine plus.

  • se efectuează calculele în fiecare membru
  • se obţine o nouă inecuaţie de forma \({ax > b}\) (echivalentă cu inecuaţia dată)
  • se împart ambii membri ai inecuaţiei \({ax > b}\) cu coeficientul \({a}\) al necunoscutei; soluţia inecuaţiei date este formată din mulţimea numărelor întregi pentru care inegalitatea este adevărată

Important! Reguli de calcul

  • dacă adunăm acelaşi număr la ambii membri ai unei inecuaţii, obţinem o inecuaţie echivalentă cu cea dată
  • dacă scădem acelaşi număr din ambii membri ai unei inecuaţii, obţinem o inecuaţie echivalentă cu cea dată
  • !!! dacă înmulţim sau împărţim cu acelaşi număr pozitiv ambii membri ai unei inecuaţii, obţinem o inecuaţie echivalentă cu cea dată
  • !!! dacă înmulţim sau împărţim cu acelaşi număr negativ ambii membri ai unei inecuaţii, se schimbă sensul inegalităţii şi obţinem o inecuaţie echivalentă cu cea dată




Exemple de inecuaţii de gradul I în \({ℤ}\)

  • \({3x + 3 > 9x - 15}\)
  • trecem în primul membru toți termenii care conțin necunoscuta \({x}\), iar în membrul al doilea termenii liberi (care nu conțin necunoscuta \({x}\)).
  • +3 trece în partea cealaltă şi devine -3

    \({9x}\) trece în partea cealaltă şi devine \({-9x}\)

    \({3x - 9x > -3 - 15}\)

  • se efectuează calculele în fiecare membru
  • \({-6x > -18}\)

  • se împart ambii membri cu -6; acesta este număr negativ, deci se schimbă sensul inegalităţii, adică semnul \({>}\) devine \({<}\)
  • \({x < -3}\) şi \({x \in ℤ}\)
  • mulţimea soluţiilor inecuaţiei este \({ S = \{..., -2, -1, 0, 1, 2\}}\).
  • \({7x + 2 \le}\) \({\frac{14}{5}}\)
  • în primul membru rămâne termenul care conţine necunoscuta \({x}\), iar în membrul al doilea vom avea termenii liberi
  • +2 trece în partea cealaltă şi devine -2

    \({7x \le}\) \({\frac{14}{5}}\) \({- 2}\)

  • efectuăm calculul în membrul al doilea
  • \({7x \le}\) \({\frac{14}{5} - \frac{10}{5}}\)

    \({7x \le}\) \({\frac{4}{5}}\)

  • se împart ambii membri cu 7
  • \({x \le }\) \({\frac{4}{5} \cdot \frac{1}{7}}\)

    \({x \le }\) \({\frac{4}{35} }\) şi \({x \in ℤ}\)

    \({\frac{4}{35} }\) \({< 1 }\)

  • mulţimea soluţiilor inecuaţiei este \({ S = \{..., -2, -1, 0\}}\).
  • \({ S = ℤ_- \cup \{0\}}\)