Memorator Algebră

clasele 5 - 8














Ecuația de gradul al doilea

Forma ecuației de gradul al doilea

Ecuația de forma \({ax^2 + bx + c = 0}\), cu \({x \in D}\), \({a \neq 0}\) și \({a, b, c \in \mathbf{R}}\) se numește ecuație de gradul al doilea cu necunoscuta \({x}\) (\({D}\) este mulțimea în care necunoscuta \({x}\) poate să ia valori; \({D}\) poate fi \({\mathbf{N}}\), \({\mathbf{Z}}\), \({\mathbf{Q}}\) sau \({\mathbf{R}}\) sau o mulțime finită sau un interval).

  • numerele \({a}\) și \({b}\) sunt coeficienți;
  • numărul \({c}\) este termenul liber;
  • dacă \({a = 0}\), atunci ecuația devine de gradul 1;
  • \({ax^2}\) este termenul de gradul 2;
  • \({bx}\) este termenul de gradul 1;
  • valoarea necunoscutei \({x}\) pentru care egalitatea este adevărată se numește soluție sau rădăcină a ecuației;
  • ecuația de gradul al doilea poate să aibă două soluții în \({\mathbf{R}}\) sau o singură soluție în \({\mathbf{R}}\) sau nicio soluție în \({\mathbf{R}}\);
  • notăm cu \({x_1}\) și \({x_2}\) soluțiile ecuației \({ax^2 + bx + c = 0}\).




Rezolvarea ecuației de gradul al doilea

Formula generală

  • \({x_{1{,}2} = \frac{\displaystyle -b \pm \sqrt{\Delta} }{\displaystyle 2a}}\)

  • \({\Delta}\) se numește discriminantul ecuației (se citește „delta”);

  • \({\Delta = b^2 - 4ac}\)

Cazuri particulare

  • cazul \({c = 0}\):

    • \({ax^2 + bx = 0}\)


      \({x(ax + b) = 0}\)


      \({x_1 = 0}\)

      \({x_2 = - \frac{\displaystyle b}{\displaystyle a}}\)


  • cazul \({b = 0}\):

    • \({ax^2 + c = 0}\)


      \({x_{1{,}2} = \pm \sqrt{- \frac{\displaystyle c}{\displaystyle a}}}\), unde \({- \frac{\displaystyle c}{\displaystyle a} > 0 }\)


  • cazul \({b = 0}\) și \({c = 0}\):

    • \({ax^2 = 0}\)


      \({x_{1} = x_{2} = 0}\)






Discuția ecuației de gradul al doilea

  • dacă \({\Delta > 0}\), atunci ecuația are două soluții reale și diferite

  • \({x_{1} = \frac{\displaystyle -b + \sqrt{\Delta} }{\displaystyle 2a}}\)

    \({x_{2} = \frac{\displaystyle -b - \sqrt{\Delta} }{\displaystyle 2a}}\)


  • dacă \({\Delta = 0}\), atunci ecuația are o singură soluție reală

  • \({x_{1} = x_{2} = -\frac{\displaystyle b }{\displaystyle 2a}}\)


  • dacă \({\Delta < 0}\), atunci ecuația nu are soluții în \({\mathbf{R}}\) (are soluții în mulțimea numerelor complexe)