Memorator Algebră

clasele 5 - 8













Rădăcina pătrată a pătratului unui număr natural

Pătratul unui număr natural \({a}\) este \({a^2 = a \cdot a}\).

Numărul \({a^2}\) se numește pătrat perfect. De exemplu, 9, 16, 36, 121 sunt pătrate perfecte (pentru că \({9 = 3^2}\), \({16 = 4^2}\), \({36 = 6^2}\), \({121 = 11^2}\)).

Numărul \({a}\) se numește rădăcina pătrată a lui \({a^2}\).

Notăm \({ \sqrt{a^2} = a}\) (citim „radical din \({a}\) pătrat este egal cu \({a}\)).

De exemplu, pătratul lui 3 este 9, iar 3 este rădăcina pătrată a lui 9.

\({3^2 = 3 \cdot 3 = 9}\)

\({ \sqrt{9} = \sqrt{3^2} = 3}\)

Avem o nouă operație, și anume operația de extragere a radicalului sau operația de extragere a rădăcinii pătrate.





Exemple

\({\sqrt{25} = 5}\) pentru că \({5^2 = 25}\)

\({\sqrt{100} = 10}\) pentru că \({10^2 = 100}\)

\({\sqrt{225} = 15}\) pentru că \({15^2 = 225}\)

\({\sqrt{256} = 16}\) pentru că \({16^2 = 256}\)

\({\sqrt{400} = 20}\) pentru că \({20^2 = 400}\)

Pentru a calcula rădăcina pătrată a unui număr natural folosim descompunerea în factori primi a acelui număr.

\({ \sqrt{1764} = \sqrt{2^2 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = 2 \cdot 3 \cdot 7 = 42}\); invers, avem \({42^2 = 1764}\)

Prin operația de extragere a radicalului, unui număr pătrat perfect \({n}\) i se asociază un număr \({a}\) astfel încât \({a^2 = n}\). Extragerea radicalului este operația inversă ridicării la pătrat.

Important! \({\sqrt{n^2} = n}\), pentru orice \({n}\) număr natural





Proprietăți ale radicalilor

Dacă \({x}\), \({y \in ℕ }\) sunt pătrate perfecte, atunci:

  • \({\sqrt{x \cdot y} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{y}}\)
  • \({\sqrt{x : y} = \sqrt{x} : \sqrt{y}}\), pentru \({y \neq 0}\); altfel spus:
  • \({\sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}}\), pentru \({y \neq 0}\)

Atenție!

  • \({\sqrt{x + y} \neq \sqrt{x} + \sqrt{y}}\)
  • \({\sqrt{x - y} \neq \sqrt{x} - \sqrt{y}}\)