Memorator Algebră

clasele 5 - 8













Înmulțirea numerelor reale

Numerele care se înmulțesc se numesc factori. Rezultatul înmulțirii se numește produs.


Pentru a înmulți două numere reale, procedăm astfel:

  • mai întâi, stabilim semnul rezultatului, folosind regula semnelor (vezi mai jos);
  • folosim regulile de înmulțire a numerelor raționale și cele pentru radicali - vezi mai jos (sau aproximări ale radicalilor).




Regula semnelor

  • \({+ \cdot + = + }\)
  • \({- \cdot - = + }\)
  • (dacă factorii au același semn, rezultatul are semnul +)

  • \({+ \cdot - = - }\)
  • \({- \cdot + = - }\)
  • (dacă factorii au semne diferite, rezultatul are semnul -)


Reguli de calcul

  • \({a\sqrt{x} \cdot b\sqrt{y} = ab\sqrt{xy}}\)

  • \({3\sqrt{5} \cdot 4\sqrt{2} = 3 \cdot 4 \cdot \sqrt{5 \cdot 2} = 12\sqrt{10} }\)

    \({5\sqrt{5} \cdot 3\sqrt{6} = 15\sqrt{30} }\)

  • \({a\sqrt{x} \cdot b\sqrt{x} = ab\sqrt{x^2} = abx}\)

  • \({3\sqrt{5} \cdot 4\sqrt{5} = 12\sqrt{25} = 12 \cdot 5 = 60 }\)

    \({7\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 7\sqrt{9} = 7 \cdot 3 = 21 }\)


Exemple

\({\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2^2} = 2 }\)

\({-\sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = -\sqrt{3 \cdot 2} = -\sqrt{6} }\)

\({\sqrt{5} \cdot (-\sqrt{2}) = -\sqrt{5 \cdot 2} = -\sqrt{10} }\)

\({(-\sqrt{7}) \cdot (-\sqrt{2}) = \sqrt{7 \cdot 2} = \sqrt{14} }\)


Pentru a efectua o înmulțire în care unul dintre factori este număr irațional, se poate folosi o aproximare a acestuia:

\({\sqrt{2} = 1{,}41421356 \dots}\)

\({\sqrt{2} \approx 1{,}41}\)

\({2 \cdot \sqrt{2} = 2 \cdot 1{,}41 = 2{,}82}\)





Proprietățile înmulțirii numerelor reale

  • înmulțirea este comutativă
  • \({a \cdot b = b \cdot a}\)

  • înmulțirea este asociativă
  • \({(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)}\)

  • 1 este element neutru pentru înmulțire
  • \({1 \cdot a = a \cdot 1 = a}\)

  • orice număr real nenul \({a}\) are un invers \({\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle a}}\) astfel încât \({a \cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle a} = 1}\)
  • \({a \cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle a} = 1}\)

    Inversul unui număr rațional este tot un număr rațional.

    • inversul lui \({\frac{\displaystyle 5}{\displaystyle 6}}\) este \({\frac{\displaystyle 6}{\displaystyle 5} }\)
    • \({\frac{\displaystyle 5}{\displaystyle 6} \cdot \frac{\displaystyle 6}{\displaystyle 5} = 1}\)

    Inversul unui număr irațional este tot un număr irațional.

    • inversul lui \({\sqrt{2}}\) este \({\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \sqrt{2}} }\)
    • \({\sqrt{2} \cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \sqrt{2}} = 1}\)

  • înmulțirea este distributivă față de adunare și scădere
  • \({(a + b) \cdot c= a \cdot c + b \cdot c}\)

    \({(a - b) \cdot c= a \cdot c - b \cdot c}\)

  • 0 înmulțit cu orice număr ne dă 0
  • \({0 \cdot a = a \cdot 0 = 0}\)

Produsul a două numere raționale este tot un număr rațional.

\({\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 3} \cdot 1{,}2 = \frac{\displaystyle {\cancel{2}}}{\displaystyle {\cancel{3}}} \cdot \frac{\displaystyle \overset{4}{\cancel{12}}}{\displaystyle \underset{5}{\cancel{10}}} = \frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 5} \in ℚ}\)

Produsul dintre un număr rațional nenul și un număr irațional este un număr irațional.

\({2 \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3} \in ℝ - ℚ}\)

Produsul dintre două numere iraționale poate fi un număr rațional sau un număr irațional.

\({\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3^2} = 3 \in ℚ}\)

\({\sqrt{5} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{15} \in ℝ - ℚ}\)

\({\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \sqrt{2}} \cdot \sqrt{2} = 1 \in ℚ}\)