Memorator Algebră

clasele 5 - 8













Intervale de numere reale

Introducere

  • fiecărui număr real îi corespunde un punct pe axa numerelor; mulțimea numerelor reale este infinită, între orice două numere reale se află o infinitate de alte numere reale;
  • un interval înseamnă toate numerele reale cuprinse între două numere reale date;
  • cele două numere reale date se numesc capetele sau extremitățile intervalului;
  • pentru a scrie un interval, folosim paranteze rotunde (când intervalul nu conține capătul respectiv) și/sau paranteze drepte (când intervalul conține capătul respectiv);
  • dacă vrem să reprezentăm un interval pe axa numerelor, reprezentăm mai întîi capetele intervalului pe axă, apoi hașurăm porțiunea cuprinsă între cele două capete.





Intervale mărginite

  • reprezentarea unui interval mărginit pe axa numerelor este un segment;
  • intervalul \({[a, b]}\) se numește interval închis de extremități \({a}\) și \({b}\); conține extremitățile \({a}\) și \({b}\):
  • \({[a, b] = \{ x \in \mathbf{R} \mid a \le x \le b \}}\)

    \({a \in [a, b]}\)

    \({b \in [a, b]}\)


    Intervalul închis conține ambele extremități


  • intervalul \({(a, b)}\) se numește interval deschis de extremități \({a}\) și \({b}\); nu conține extremitățile \({a}\) și \({b}\):
  • \({(a, b) = \{ x \in \mathbf{R} \mid a < x < b \}}\)

    \({a \not\in (a, b)}\)

    \({b \not\in (a, b)}\)


    Intervalul deschis nu conține extremitățile



  • intervalul \({[a, b)}\) se numește interval de extremități \({a}\) și \({b}\), închis la stânga și deschis la dreapta; conține extremitatea stângă \({a}\) și nu conține extremitatea dreaptă \({b}\):
  • \({[a, b) = \{ x \in \mathbf{R} \mid a \le x < b \}}\)

    \({a \in [a, b)}\)

    \({b \not\in [a, b)}\)


    Intervalul semideschis, închis la stânga și deschis la dreapta



  • intervalul \({(a, b]}\) se numește interval de extremități \({a}\) și \({b}\), deschis la stânga și închis la dreapta; nu conține extremitatea stângă \({a}\) și conține extremitatea dreaptă \({b}\):
  • \({(a, b] = \{ x \in \mathbf{R} \mid a < x \le b \}}\)

    \({a \not\in (a, b]}\)

    \({b \in (a, b]}\)


    Intervalul semideschis, deschis la stânga și inchis la dreapta






Intervale nemărginite


  • simbolurile \({+ \infty}\) (plus infinit) și \({- \infty}\) (minus infinit) nu sunt numere;
  • semnul + din fața simbolului \({+ \infty}\) (plus infinit) poate fi omis; \({(a, + \infty) = (a, \infty)}\);
  • unui interval nemărginit îi corespunde o semidreaptă pe axa reală;
  • mulțimea numerelor reale poate fi scrisă și astfel: \({\mathbf{R} = (- \infty, +\infty)}\);

  • Dreapta reală


  • intervalul \({(- \infty, a)}\) se numește interval deschis la dreapta, nemărginit la stânga sau interval deschis, minus infinit, \({a}\);
  • \({(- \infty, a) = \{ x \in \mathbf{R} \mid x < a \}}\)

    \({a \not\in (- \infty, a)}\)


    Interval deschis la dreapta, nemărginit la stânga sau interval deschis, minus infinit, a


  • intervalul \({(- \infty, a]}\) se numește interval închis la dreapta, nemărginit la stânga sau interval închis, minus infinit, \({a}\);
  • \({(- \infty, a] = \{ x \in \mathbf{R} \mid x \le a \}}\)

    \({a \in (- \infty, a]}\)


    Interval închis la dreapta, nemărginit la stânga sau interval închis, minus infinit, a


  • intervalul \({(a, +\infty)}\) se numește interval deschis la stânga, nemărginit la dreapta sau interval deschis, \({a}\), plus infinit;
  • \({(a, +\infty) = \{ x \in \mathbf{R} \mid x > a \}}\)

    \({a \not\in (a, +\infty)}\)


    Interval deschis la stânga, nemărginit la dreapta sau interval deschis, a, plus infinit


  • intervalul \({[a, +\infty)}\) se numește interval închis la stânga, nemărginit la dreapta sau interval închis, \({a}\), plus infinit;
  • \({[a, +\infty) = \{ x \in \mathbf{R} \mid x \ge a \}}\)

    \({a \in [a, +\infty)}\)


    Interval închis  la stânga, nemărginit la dreapta sau interval închis, a, plus infinit







Exemple

Dacă extremitățile intervalului sunt numere iraționale, folosim aproximări raționale pentru aceste numere.

  • intervalul \({(\sqrt{2}, + \infty)}\) se reprezintă astfel:
  • \({\sqrt{2} \approx 1{,}4 }\)


    Interval deschis, radical din 2, plus infinit


  • intervalul \({(\sqrt{2}, \sqrt{5}]}\) se reprezintă astfel:
  • \({\sqrt{2} \approx 1{,}4 }\)

    \({\sqrt{5} \approx 1{,}3 }\)


    Interval de extremități radical din doi și radical din trei, deschis la stânga și închis la dreapta