Memorator Algebră

clasele 5 - 8













Media geometrică (sau proporțională) - a două numere reale pozitive \({a}\), \({b}\) este egală cu radical din produsul lor.

\({m_{g} =}\) \({\sqrt{a \cdot b} }\), unde \({a, b > 0 }\)

\({{m_{g}}^2 =}\) \({a \cdot b }\) \({\iff}\) \({\frac{m_{g}}{a}}\) \({=}\) \({\frac{b}{m_{g}}}\) \({\iff}\) \({\frac{a}{m_{g}}}\) \({=}\) \({\frac{m_{g}}{b}}\)





Proprietăți

Pentru \({x}\) și \({y}\) numere reale pozitive, avem:


  • \({m_{g} =}\) \({\sqrt{x \cdot y} }\) avem \({x \le m_{g} \le y}\)
  • Media geometrică a două numere pozitive este cuprinsă între aceste numere. Dacă numerele sunt egale, atunci media lor geometrică este egală cu fiecare dintre aceste numere.

    Media geometrică a numerelor 2 și 5 este \({\sqrt{2 \cdot 5} }\), adică \({\sqrt{10} }\). Avem \({2 < \sqrt{10} \approx 3{,} 1 < 5 }\).


  • \({m_{g} \le m_{a}}\), adică \({\sqrt{x \cdot y} \le}\) \({\frac{\displaystyle x \; + \; y}{\displaystyle 2}}\)
  • Media geometrică a două numere pozitive este mai mică sau egală decât media aritmetică a acelorași numere.

    Media aritmetică a numerelor 2 și 5 este \({\frac{\displaystyle 2 \; + \; 5} {\displaystyle 2} = 3{,}5}\).

    Media geometrică a numerelor 2 și 5 este \({\approx 3{,}1}\), deci mai mică decât media aritmetică a acelorași numere.


  • \({\sqrt{x \cdot y} =}\) \({\frac{x \; + \; y}{2}}\) \({ \Longleftrightarrow x = y}\)

  • Media geometrică a două numere pozitive este egală cu media aritmetică a acelorași numere dacă și numai dacă cele două numere sunt egale.