Memorator Algebră

clasele 5 - 8













Înmulțirea

Înmulțirea este o adunare repetată a aceluiași număr: un număr \({a}\) se adună cu el însuși de \({b}\) ori (sau un număr \({b}\) se adună cu el însuși de \({a}\) ori). Scriem \({a \times b}\) sau \({a \cdot b}\) și citim „a înmulțit cu b”.

\({a \times b}\) \({=}\) \({a \cdot b}\) \({=}\) \({\underbrace{a + a + \dotso + a}_{\text{de}\; b \;\text{ori}}}\) \({=}\) \({\underbrace{b + b + \dotso + b}_{\text{de}\; a \;\text{ori}}}\)

Numerele care se înmulțesc se numesc factori, iar rezultatul înmulțirii se numește produs.





Proprietățile înmulțirii

  • orice număr înmulțit cu 0 dă rezultatul 0 (\({a \cdot 0 = 0}\))
  • numărul 1 este element neutru la înmulțire, adică \({a \cdot 1 = a}\)
  • înmulțirea este comutativă, adică \({a \cdot b = b \cdot a}\)
  • înmulțirea este asociativă, adică \({(a \cdot b) \cdot c}\) \({=}\) \({a \cdot (b \cdot c)}\) \({=}\) \({(a \cdot c) \cdot b}\)
  • înmulțirea este distributivă față de adunare și scădere, adică:
    • \({a \cdot (b + c)}\) \({=}\) \({a \cdot b + a \cdot c}\)
    • \({a \cdot (b - c)}\) \({=}\) \({a \cdot b - a \cdot c}\)

Proba înmulțirii \({a \cdot b = c\;\;}\) se poate face:

  • prin împărțire ➤ \({c : a = b}\) sau \({c : b = a}\)
  • sau prin înmulțire ➤ \({b \cdot a = c}\)

Exemplu

\({8 \cdot 7 = 56}\)

  • 8 și 7 sunt factorii înmulțirii, iar 56 este produsul
  • proba prin împărțire: \({56 : 8 = 7}\) sau \({56 : 7 = 8}\)
  • proba prin înmulțire: \({7 \cdot 8 = 56}\)




Factor comun

Dacă fiecare termen al unei sume sau diferențe poate fi scris ca produs de doi factori, iar un factor este comun tuturor termenilor sumei sau diferenței, atunci acel factor se numește factor comun și putem scrie astfel:

\({\textcolor{RedOrange}{a} \cdot b + \textcolor{RedOrange}{a} \cdot c}\) \({=}\) \({\textcolor{RedOrange}{a} \cdot (b + c)}\)

\({\textcolor{RedOrange}{a} \cdot b - \textcolor{RedOrange}{a} \cdot c}\) \({=}\) \({\textcolor{RedOrange}{a} \cdot (b - c)}\)

Spunem că „dăm factor comun pe \({\textcolor{RedOrange}{a}}\)” sau că „scoatem pe \({\textcolor{RedOrange}{a}}\) factor comun”.

Atunci când dăm factor comun, folosim în sens invers distributivitatea înmulțirii față de adunare și scădere.

Exemplu

\({7 \cdot \textcolor{RedOrange}{12} + \textcolor{RedOrange}{12} \cdot 13 =}\) \({\textcolor{RedOrange}{12} \cdot (7 + 13) =}\) \({\textcolor{RedOrange}{12} \cdot 20 = 240}\)

  • am dat factor comun pe \({\textcolor{RedOrange}{12}}\)