∎ Probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuațiilor

Etape:

• stabilim ce știm și ce trebuie să aflăm;
• notăm necunoscuta cu o literă (de obicei se folosește litera \({x}\)); dacă sunt mai multe necunoscute, scriem celelalte necunoscute în funcție de \({x}\);
• scriem ecuația conform datelor problemei;
• rezolvăm ecuația;
• stabilim soluţia ecuaţiei şi formulăm răspunsul problemei;
• verificăm dacă soluţia găsită îndeplineşte condiţiile date în enunţul problemei.

★ Exemple

1. Dacă așez câte 10 cărți într-o cutie, rămân 32 de cărți care n-au loc în cutii. Dacă așez câte 18 cărți într-o cutie, aproape toate cutile vor fi pline, cu două excepții: o cutie va avea doar 4 cărți, iar o cutie va rămâne goală. Câte cărți și câte cutii am?

• notăm cu \({x}\) numărul de cutii;
• notăm cu \({y}\) numărul de cărți;
• dacă așez 10 cărți într-o cutie:
• numărul cărților care au avut loc în cutii este \({10 \cdot x}\);
• rămân 32 de cărți;
• numărul total al cărților este format din cele din cutii și cele rămase, adică \({10 \cdot x + 32}\)
• numărul total al cărților l-am notat cu \({y}\), rezultă că:

\({10x + 32 = y}\) (1)

• dacă așez 18 cărți într-o cutie:
• o cutie are doar 4 cărți, o cutie rămâne goală, deci sunt 2 cutii care nu sunt pline;
• numărul total al cutiilor este \({x}\);
• numărul cutiilor pline este \({x - 2}\);
• numărul cărților din cutiile pline este \({18 \cdot (x - 2)}\);
• numărul total al cărților este format din cele din cutiile pline plus cele 4 cărți din cutia incompletă, adică \({18 \cdot (x - 2) + 4}\);
• numărul total al cărților l-am notat cu \({y}\), rezultă că:

\({18 \cdot (x - 2) + 4 = y}\) (2)

• relațiile (1) și (2) exprimă în două moduri numărul cărților; egalăm cele două relații și vom obține o ecuație cu o necunoscută:



\({10x + 32 = 18 \cdot (x - 2) + 4}\)

\({10x + 32 = 18x - 36 + 4}\)

\({10x + 32 = 18x - 32}\)

• separăm termenii, trecerea dintr-un membru în altul se face cu semn schimbat:



\({18x - 10x = 32 + 32}\)

\({8x = 64 \; \; \; \; \; \mid \; : \; 8}\)




\({x = 8 }\)



• înlocuim pe \({x}\) în ecuația \({10x + 32 = y}\):



\({10 \cdot 8 + 32 = y}\)




\({y = 112 }\)



• am aflat că sunt 112 cărți și 8 cutii;
• verificăm:



\({112 - 8 \cdot 10 = 32}\) adevărat

\({112 = 6 \cdot 18 + 4}\) adevărat

2. Mihnea plătește 31 de lei pentru o cursă cu taxiul. Știind că prețul de pornire este de 3 lei și prețul pe kilometru parcurs este de \({2{,}8}\) lei, calculați ce lungime a avut traseul parcurs.

• notăm cu \({x}\) numărul de kilometri (distanța);
• suma corespunzătoare kilometrilor parcurși este de \({2{,}8 \cdot x}\);
• suma plătită (31 de lei) este formată din prețul de pornire (3 lei) plus suma aferentă kilometrilor parcurși:



\({3 + 2{,}8 \cdot x = 31}\)

• separăm termenii, trecerea dintr-un membru în celălalt se face cu semn schimbat:



\({2{,}8 \cdot x = 31 - 3}\)

\({2{,}8 \cdot x = 28 \; \; \; \; \; \mid \; : \; 2{,}8}\)

\({x = \frac{\displaystyle 28}{\displaystyle 2{,}8}}\)

\({x = \frac{\displaystyle 280}{\displaystyle 28}}\)




\({x = 10 }\)



• am aflat că distanța parcursă este egală cu 10 kilometri;
• verificăm:



\({10 \cdot 2{,}8 + 3 = 31}\) adevărat

3. Andrada are o sumă de bani la ea. Cu o treime din sumă cumpără portocale, cu un sfert din rest cumpără mere și de 10 lei mai cumpără pâine. Îi mai rămân 26 de lei. Ce sumă a avut Andrada la ea?

• notăm cu \({x}\) suma de bani pe care o are Andrada;


• o treime din sumă înseamnă \({\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3}x}\) - atât costă portocalele; (1)


• rămân \({\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}x}\);


• din \({\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}x}\), un sfert dă pe mere, adică:



\({\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \cancel{4}_2} \cdot \frac{\displaystyle \cancel{2}^1}{\displaystyle 3}x = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 6}x }\) (2)



• 10 lei dă pe mere; (3)
• îi rămân 26 de lei; (4)
• întreaga sumă este formată din (1), (2), (3) și (4);
• scriem ecuația:



\({\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3}x + \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 6}x + 10 + 26 = x}\)




\({ x - \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3}x - \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 6}x = 36}\)




\({ \frac{\displaystyle 6x - 2x - x}{\displaystyle 6} = 36}\)




\({ \frac{\displaystyle 3x}{\displaystyle 6} = 36}\)




\({ \frac{\displaystyle x}{\displaystyle 2} = 36 \; \; \; \; \; \mid \; \cdot \; 2}\)





\({x = 72 }\)



• am aflat că Andrada a avut 72 de lei la ea;
• verificăm:



\({72 - 72 : 3 - (72 - 72 : 3) : 4 - 10 = }\)

\({= 72 - 24 - (72 - 24) : 4 - 10}\)

\({= 48 - 48 : 4 - 10}\)

\({= 48 - 12 - 10}\)

\({= 36 - 10}\)

\({= 26}\) adevărat