Memorator Algebră

clasele 5 - 8













Transformarea unei egalități într-o egalitate echivalentă. Identități

Într-o egalitate, unii termeni pot fi înlocuiți cu litere. În unele cazuri se specifică mulțimea în care aceste litere iau valori; dacă nu se specifică această mulțime, atunci se consideră că literele sunt numere reale.

Tot ce este în stânga semnului = numim membrul 1 al ecuației sau membrul stâng al ei. Tot ce este în dreapta semnului = numim membrul 2 al ecuației sau membrul drept al acesteia.


Tot ce este în stânga semnului = numim membrul 1 al ecuației sau membrul stâng al ei. Tot ce este în dreapta semnului = numim membrul 2 al ecuației sau membrul drept al acesteia.


Dacă egalitatea care conține litere este adevărată pentru orice valori reale ale literelor, atunci ea se numește identitate. De exemplu, când vorbim de proprietatea de comutativitate a adunării numerelor reale, spunem că \({a + b = b + a}\) oricare ar fi \({a}\) și \({b}\) numere reale. Aceasta este o identitate, adevărată pentru orice numere reale.

Două egalități sunt echivalente dacă sunt adevăarte pentru aceleași valori ale literelor sau dacă sunt false pentru aceleași valori ale literelor. Semnul de echivaleță este \({ \Longleftrightarrow}\). De exemplu,

\({ x + 5 = 2 \Longleftrightarrow x + 3 = 0}\) pentru că:

  • \({ x + 5 = 2 }\) este adevărată pentru \({ x = -3}\);
  • \({ x + 3 = 0 }\) este adevărată tot pentru \({ x = -3}\);




Cum obținem egalități echivalente:

  • trecem cu semn schimbat termeni dintr-o parte în alta a egalului;
    • plus devine minus;
    • minus devine plus.

    • Trecem cu semn schimbat termeni dintr-o parte în alta a egalului


  • din ambii membri ai egalității se adună sau se scade același număr;

  • \({2x + 3 = 4 \; \; \; \; \mid \; -4}\)


    \({2x + 3 - 4 = 4 - 4 }\)


    \({2x - 1 = 0 }\)


    \({2x + 3 = 4 \Longleftrightarrow 2x - 1 = 0 }\)


  • ambii membri ai egalității se înmulțesc sau se împart cu același număr nenul;

    • \({3x = 9 \; \; \; \; \mid \; : 3}\)

    • \({x = 3}\)


      \({3x = 9 \Longleftrightarrow x = 3 }\)


    • 2 pâini costă 3 lei \({\; \; \; \; \mid \; \cdot \;2}\)
    • 4 pâini costă 6 lei






  • ! dacă ambii membri ai egalității sunt numere pozitive, atunci:

    • se extrage radicalul din ambii membri ai egalității;

      • \({\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4} = 0{,}25}\)

      • \({\sqrt{\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4}} = \sqrt{0{,}25}}\)


        \({\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} = 0{,}5}\) adevărat


      • \({x^2 = 4}\)

      • \({\sqrt{x^2} = \sqrt{4}}\)


        \({\sqrt{x^2} = 2}\)


        \({\mid x \mid = 2}\)


        \({x = 2}\) sau \({x = -2}\)


    • se ridică la puterea \({n}\) ambii membri ai egalității, unde \({n}\) este număr întreg.
      • \({\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} = 0{,}5}\)

      • \({\left(\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}\right)^2 = (0{,}5)^2}\)


        \({\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4} = 0{,}25}\) adevărat






Dacă avem două egalități, putem obține o altă egalitate:

  • adunăm membru cu membru cele două egalități;

  • \({a = b}\)

    \({c = d}\)

    ______________________

    \({a + c = b + d}\)


  • scădem membru cu membru cele două egalități;

  • \({a = b}\)

    \({c = d}\)

    ______________________

    \({a - c = b - d}\)


  • înmulțim membru cu membru cele două egalități;

  • \({a = b}\)

    \({c = d}\)

    ______________________

    \({a \cdot c = b \cdot d}\)


  • împărțim membru cu membru cele două egalități;

  • \({a = b}\)

    \({c = d}\)

    ______________________

    \({a : c = b : d}\)


  • ridicăm la putere membru cu membru cele două egalități.

  • \({a = b}\)

    \({c = d}\)

    __________

    \({a^c = b^d}\)