∎ Metoda reducerii

★ Sistemul de două ecuații liniare cu două necunoscute are forma generală:

$$ \left\{ \begin{array}{c} ax+by=c \\ dx+ey=f \end{array} \right. $$

★ Scopul este ca prin adunarea celor două ecuații ale sistemului, una dintre necunoscute să se reducă (să fie eliminată). Astfel, vom obține o ecuație liniară cu o necunoscută, pe care o rezolvăm.

Pentru aceasta, e nevoie ca una dintre necunoscute să aibă coeficienții numere opuse.

★ Ne amintim că, adunând numere opuse, obținem rezultatul 0. Numerele opuse sunt de forma \({a}\) și \({-a}\); de exemplu, \({10}\) și \({-10}\) sunt numere opuse.

★ Cum rezolvăm sistemul:

• ne asigurăm că sistemul e scris astfel încât necunoscutele de același fel sunt una sub alta (\({x}\) sub \({x}\), \({y}\) sub \({y}\));
• alegem necunoscuta pe care vrem s-o reducem; e bine să alegem astfel încât să urmeze calcule cât mai ușoare (orice necunoscută am alege, vom obține aceeași soluție, la final);
• ecuațiile se înmulțesc sau se împart cu numerele potrivite, astfel încât necunoscuta aleasă să aibă coeficienți numere opuse;
• se obține un sistem de ecuații echivalent cu cel inițial;
• adunăm ecuațiile noului sistem;
• necunoscuta aleasă este eliminată și obținem o ecuație liniară cu o singură necunoscută, pe care o rezolvăm;
• înlocuim valoarea găsită într-una dintre ecuații și aflăm și cealaltă necunoscută;
• scriem soluția sistemului.

★ Exemple

1. Să rezolvăm sistemul de ecuații:

$$ \left\{ \begin{array}{c} 2x+3y=6 \\ 5x-y=3 \end{array} \right. $$

• analizăm coeficienții necunoscutelor:
• necunoscuta \({x}\) are coeficienții 2 și 5; cel mai mic multiplu comun este 10, deci prima ecuație ar trebui înmulțită cu \({ \pm 5}\), iar a doua ecuație ar trebui înmulțită cu \({ \mp 2}\)
• necunoscuta \({y}\) are coeficienții +3 și -1, au semne contrare; cel mai mic multiplu comun al lui 1 și 3 este 3; e suficient să înmulțim a doua ecuație cu 3;
• alegem să eliminăm necunoscuta \({y}\), pentru că vom avea calcule mai ușoare;
• înmulțim a doua ecuație cu 3:

$$ \left\{ \begin{alignedat}{4} &2x+3y=6 \\ &5x-y=3 \; \; \; \; \; \mid \; \cdot \; 3 \end{alignedat} \right. $$

• obținem sistemul echivalent:

$$ \left\{ \begin{alignedat}{4} &2x+3y=6 \\ &15x-3y=9 \end{alignedat} \right. $$

• adunăm cele două ecuații; necunoscuta \({y}\) este eliminată;
• obținem ecuația \({17x = 15}\)
• împărțim ecuația cu coeficientul lui \({x}\), adică cu 17


• \({x = \frac{\displaystyle 15}{\displaystyle 17} }\)


• îl înlocuim pe \({x}\) în ecuația \({5x - y = 3}\)


• \({5 \cdot \frac{\displaystyle 15}{\displaystyle 17} - y = 3 }\)


• \({y = 5 \cdot \frac{\displaystyle 15}{\displaystyle 17} - 3 }\)


• \({y = \frac{\displaystyle 5 \cdot 15 - 3 \cdot 17 }{\displaystyle 17} }\)


• \({y = \frac{\displaystyle 75 - 51 }{\displaystyle 17} }\)


• \({y = \frac{\displaystyle 24 }{\displaystyle 17} }\)


• am obținut soluția \({S = \left\{\left(\frac{\displaystyle 15}{\displaystyle 17}, \frac{\displaystyle 24}{\displaystyle 17}\right)\right\} }\)


• același sistem l-am rezolvat și prin metoda substituției și am obținut aceeași soluție;


• indiferent prin ce metodă alegem să rezolvăm un sistem de ecuații, rezultatul este același (dacă efectuăm calculele corect).

2. Să rezolvăm sistemul de ecuații:

$$ \left\{ \begin{alignedat}{4} &8x+2y=-10 \\ &7x+6y=4 \end{alignedat} \right. $$

• analizăm coeficienții necunoscutelor:
• necunoscuta \({x}\) are coeficienții 2 și 6; cel mai mic multiplu comun este 6, deci este suficient să înmulțim prima ecuație cu \({ - 3}\);
• necunoscuta \({y}\) are coeficienții 8 și 7; înseamnă că va trebui să înmulțim ecuațiile cu numere de semne contrare; cel mai mic multiplu comun al lui 8 și 7 este 56; înseamnă că prima ecuație trebuie înmulțită cu \({ \pm 7}\), iar a doua ecuație ar trebui înmulțită cu \({ \mp 8}\)
• alegem să eliminăm necunoscuta \({y}\), pentru că vom avea calcule mai ușoare;
• înmulțim prima ecuație cu -3:

$$ \left\{ \begin{alignedat}{4} &8x+2y=-10 \; \; \; \; \; \mid \; \cdot \; (-3)\\ &7x+6y=4 \end{alignedat} \right. $$

• obținem un nou sistem, echivalent cu cel dat:

$$ \left\{ \begin{alignedat}{4} &-24x-6y=30 \\ &7x+6y=4 \end{alignedat} \right. $$

• adunăm ecuațiile noului sistem și obținem ecuația:
• \({-17x = 34 \; \; \; \; \; \mid \; : \; (-17)}\)


• \({x = -2}\)


• îl înlocuim pe \({x}\) în ecuația \({7x + 6y = 4}\)
• \({7 \cdot (-2) + 6y = 4}\)
• \({-14 + 6y = 4}\)
• \({6y = 4 + 14}\)
• \({6y = 18 \; \; \; \; \; \mid \; : \; 6}\)


• \({y = 3}\)


• am obținut soluția \({S = \left\{(-2, 3)\right\} }\)

3. Să rezolvăm sistemul de ecuații:

$$ \left\{ \begin{alignedat}{4} &3x+4y=27 \\ &5x+3y=34 \end{alignedat} \right. $$

• analizăm coeficienții necunoscutelor:
• necunoscuta \({x}\) are coeficienții 3 și 5, au același semn, deci una dintre ecuații trebuie înmulțită cu un număr negativ; cel mai mic multiplu comun este 15, deci prima ecuație ar trebui înmulțită cu \({ \pm 5}\), iar a doua ecuație ar trebui înmulțită cu \({ \mp 3}\)
• necunoscuta \({y}\) are coeficienții 4 și 3, au același semn, deci una dintre ecuații trebuie înmulțită cu un număr negativ; cel mai mic multiplu comun este 12, deci prima ecuație ar trebui înmulțită cu \({ \pm 3}\), iar a doua ecuație ar trebui înmulțită cu \({ \mp 4}\)
• alegem să eliminăm necunoscuta \({y}\) (calculele au aceeași dificultate, indiferent de necunoscuta aleasă);
• înmulțim prima ecuație cu -3, iar pe a doua cu 4

$$ \left\{ \begin{alignedat}{4} &3x+4y=27 \; \; \; \; \; \mid \; \cdot \; (-3)\\ &5x+3y=34 \; \; \; \; \; \mid \; \cdot \; 4 \end{alignedat} \right. $$

• obținem sistemul echivalent

$$ \left\{ \begin{alignedat}{4} &-9x-12y=-81 \\ &20x+12y=136 \end{alignedat} \right. $$

• adunăm ecuațiile noului sistem;
• obținem ecuația:

\({11x = 55 \; \; \; \; \; \mid \; : \; 11}\)



• \({x = 5}\)


• îl înlocuim pe \({x}\) în ecuația \({3x + 4y = 27}\);
• \({3 \cdot 5 + 4y = 27}\);
• \({15 + 4y = 27}\);
• \({4y = 27 - 15}\);
• \({4y = 12\; \; \; \; \; \mid \; : \; 4}\);


• \({y = 3}\)


• am obținut soluția \({S = \left\{(5, 3)\right\} }\)