Memorator Algebră

clasele 5 - 8













Puteri cu exponent număr întreg

Pentru \({a \in \mathbf{R} }\) și \({n \in \mathbf{N} }\), avem \({a^n = \underbrace{a \cdot a \; \cdot\; ... \;\cdot \; a}_{\text{de} \; \text{n} \; \text{ori}}}\) (puterea a \({n }\)-a a numărului \({a}\)).

Numărul \({a}\) se numește baza puterii, iar \({n }\) este exponentul puterii.


Important! Pentru \({a \in \mathbf{R}^* }\) și \({n \in \mathbf{N} }\) avem:


\({a^{-1} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle a}}\)



\({a^{-n} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle a^n}}\)


Convenții

  • \({0^0 }\) nu are sens
  • \({0^a = 0}\)
  • \({1^a = 1}\)
  • \({a^0 = 1}\)




Reguli de calcul cu puteri

Pentru \({a, b \in \mathbf{R}^* }\), \({m, n \in \mathbf{Z} }\), avem:

  • \({a^1 = a}\)

  • \({a^m \cdot a^n = a^{m \;+ \;n}}\)

  • \({a^m : a^n = a^{m \;- \;n}}\)

  • \({\frac{\displaystyle a^m}{\displaystyle a^n} = a^{m \;- \;n}}\)

  • \({(a^m)^n = a^{m \; \cdot \;n}}\)

  • \({(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n}\)

  • \({ a^n : b^n = (a : b)^n}\)

  • \({\frac{\displaystyle a^n}{\displaystyle b^n} = \left(\frac{\displaystyle a}{\displaystyle b}\right)^n}\)

  • \({ (-a)^n = a^n}\) dacă \({n}\) este număr par

  • \({ (-a)^n = -a^n}\) dacă \({n}\) este număr impar





Când avem radicali la baza puterii

Pentru \({a \in \mathbf{R}^*_+ }\), \({ n \in \mathbf{N} }\), avem:


  • \({(\sqrt{a})^2 = a}\)

  • \({(\sqrt{a})^n = \sqrt{a^n}}\)

  • \({(\sqrt{a})^{-n} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \sqrt{a^n}}}\)

  • \({(a\sqrt{b})^n = a^n\sqrt{b^n}}\)

  • \({(\sqrt{a})^{2k} = a^k}\) (exponentul este număr par)

  • \({(\sqrt{a})^{2k+1} = a^k\sqrt{a}}\) (exponentul este număr impar)

  • \({\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \sqrt{a}} = \frac{\displaystyle \sqrt{a}}{\displaystyle a}}\) (am raționalizat numitorul, adică am amplificat fracția cu \({\sqrt{a}}\), pentru a calcula mai ușor)





Exemple

  • \({(5^3 : 5^2)^3 =}\)

  • \({= (5^{3 \; - \; 2})^3}\)

    \({= (5^{1})^3 }\)

    \({= 5^{1 \; \cdot \; 3}}\)

    \({= 5^3}\)


  • \({(-3)^2 : (-3)^5 =}\)

  • \({= (-3)^{2 \; - \; 5}}\)

    \({= (-3)^{-3} }\)

    \({= \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle (-3)^3}}\)

    \({= -\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3^3}}\)

    \({= -\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 27}}\)


  • \({(\sqrt{5})^3 = 5\sqrt{5}}\)


  • \({\sqrt{5^6} = 5^3}\)


  • \({(\sqrt{3})^{-2} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle (\sqrt{3})^{2}} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3}}\)


  • \({\frac{\displaystyle 15}{\displaystyle \sqrt{3}} = \frac{\displaystyle 15\sqrt{3}}{\displaystyle 3} = 5\sqrt{3}}\)