Problema zilei

Problema zilei (august 2018)

Problema zilei (martie 2018)

Problema zilei (februarie 2018)

Problema zilei (ianuarie 2018)

Mai jos sunt toate problemele rezolvate la categoria „Problema zilei”, grupate astfel: Geometrie plană, Aritmetică, Geometrie în spațiu și Algebră. Cu un click pe problemă, se ajunge la pagina unde este și rezolvarea.

Geometrie plană

1) (18 ianuarie 2018) Fie ABCD trapez cu bazele AD și BC, iar M mijlocul laturii neparalele AB. Demonstrați că aria trapezului este dublul ariei triunghiului DMC. (Geometrie, manual pentru clasa a VII-a, 1992, problema 43, pagina 105)

Figură geometrică problema: Fie M mijlocul laturii neparalele AD în trapezul ABCD de baze AB și CD. Demonstrați că aria trapezului este dublul ariei triunghiului DMC.

2) (19 ianuarie 2018) Fie triunghiul isoscel ABC cu AB AC și AD mediana corespunzătoare bazei triunghiului, unde D BC. Segmentele DE și DF sunt bisectoarele unghiurilor ADB și ADC, unde E AB și F AC. Să arătăm că triunghiul EDF este dreptunghic isoscel. (Geometrie, manual pentru clasa a VI-a, 1990, problema 23, pagina 80)

3) (20 ianuarie 2018) În dreptunghiul ABCD cu AB = 4cm și BC = 3cm se duce diagonala AC. Să se afle înălțimea DI a triunghiului ADC și cosinusul unghiului CDI. (subiect dat la admiterea în liceu, 1992)

4) (30 ianuarie 2018) În figura de mai jos, ABCD și CFGH sunt pătrate, iar triunghiurile DCE și ECF sunt echilaterale. Care este măsura unghiului BCH?

ABCD și CFGH sunt pătrate, iar triunghiurile DCE și ECF sunt echilaterale. Care este măsura unghiului BCH?

5) (3 februarie 2018) Fie ABCD un paralelogram și d o dreaptă situată în exteriorul acestuia (nu intersectează laturile paralelogramului). Să se arate că suma distanțelor de la vârfurile A și C la dreapta d este egală cu suma distanțelor de la vârfurile B și D la dreapta d.

6) (7 februarie 2018) Fie ABC un triunghi isoscel cu laturile congruente de 8 cm și baza BC de 10 cm.

a) Care este lungimea înălțimii corespunzătoare bazei triunghiului ABC?

b) Care este lungimea razei cercului circumscris triunghiului ABC?

7) (11 februarie 2018) Fie ABCD un trapez. Prelungirile laturilor AB și CD se intersectează în punctul M. Știind că AB egal cu 8 cm, BC egal cu 20 cm, CD egal cu 12 cm și AD egal cu 4 cm, să se calculeze perimetrul triunghiului MBC.

8) (15 februarie 2018) Trapezul din figura de mai jos are bazele 4 și 12, segmentul MN este paralel cu bazele, M aparține laturii AB, N aparține laturii CD și AM/MB = 4/5. Să se calculeze lungimea segmentului MN. (Geometrie, manual pentru clasa a VII, 1992, problema 15, pagina 63).

9) (19 februarie 2018) Fie ABCD patrulater convex și M, N, P și Q mijloacele laturilor sale. Ce fel de patrulater este MNPQ?

10) (23 februarie 2018) Fie ABC un triunghi dreptunghic în A, cu lungimea ipotenuzei BC de 12 cm și AD înălțime, D aparține lui BC. Știm că raportul ariilor triunghiurilor ADC și ADB este 3/4. Să calculăm lungimea înălțimii AD.

11) (27 februarie 2018) Fie ABC un triunghi echilateral, cu lungimea înălțimii egală cu 3√3 cm. Care este lungimea laturii triunghiului ABC?

12) (3 martie 2018) Fie ABCD un romb cu latura de 12 cm și măsura unghiului ABC de 120°. Să se calculeze lungimile diagonalelor sale.

13) (8 martie 2018) Fie BAC un unghi propriu și D un punct din interiorul lui. Să arătăm că punctul D aparține bisectoarei unghiului BAC dacă și numai dacă distanțele de la punctul D la laturile AB și AC sunt egale.

14) (22 martie 2018) Fie ABCD un trapez isoscel cu diagonalele perpendiculare (trapez isoscel ortodiagonal). Arătați că înălțimea trapezului este congruentă cu linia mijlocie a trapezului.

15) (23 martie 2018) Desenați un triunghi isoscel ABC cu baza BC de 5 cm și măsura unghiului BAC de 100°.

16) (26 martie 2018) Fie ABC un triunghi isoscel cu baza BC de 12 cm și laturile congruente de 10 cm. Calculați lungimile înălțimilor AD, BE și CF, unde D aparține laturii BC, E aparține laturii AC și F aparține laturii AB.

17) (7 august 2018) Fie ABCD paralelogram și un punct M situat în interiorul acestuia astfel încât AM să fie perpendicular pe AD și CM perpendicular pe CD. Arătați că BM este perpendicular pe AC.

Aritmetică

1) (21 ianuarie 2018) Ana și Mihai vor să cumpere o bicicletă care costă 650 de lei. Ei au deja împreună 150 de lei. Ana a observat că, dacă ea ar avea de 3 ori mai mulți lei, iar Mihai de 5 ori mai mulți, atunci ar avea împreună 650 de lei. Câți lei are acum fiecare?

2) (22 ianuarie 2018) Diana are 38 de ani, iar Sânziana are 74 de ani. Cu câți ani în urmă Sânziana a avut de 5 ori vârsta Dianei?

3) (23 ianuarie 2018) Diferența a două numere naturale este 96. Dacă împărțim numărul mai mare la numărul mai mic, obținem câtul 4 și restul 15. Care sunt numerele?

4) (31 ianuarie 2018) Două pachete de unt și trei pungi de stafide costă 36 de lei. Opt pachete de unt și 6 pungi de stafide costă 108 lei. Cât costă un pachet de unt și cât costă o pungă de stafide?

5) (4 februarie 2018) În două cutii sunt la un loc 220 de mingi de tenis. Dacă am lua din prima cutie 17 mingi și le-am pune în a doua cutie, atunci în prima cutie ar fi de 4 ori mai multe mingi decât în a doua cutie. Câte mingi sunt în fiecare cutie?

6) (8 februarie 2018) Știm că 7 kilograme de mere costă 35 de lei. Cât costă 6 kilograme de mere de aceeași calitate (același preț pe kilogram)?

7) (12 februarie 2018) Ioana cheltuiește din suma pe care o are și încă 10 lei. Câți lei a avut Ioana, știind că i-a rămas jumătate din sumă?

8) (16 februarie 2018) Miruna a citit într-o zi din numărul paginilor dintr-o carte, iar a doua zi restul de 111 de pagini. Câte pagini are cartea?

9) (20 februarie 2018) Mirela vinde mere la piață. Ea a vândut în trei zile 259 de kilograme, astfel: în cea de-a doua zi a vândut de două ori mai multe mere decât în prima zi și încă 5 kilograme, iar în cea de-a treia zi a vândut cu 2 kilograme mai puține mere decât în prima zi. Câte kilograme de mere a vândut în fiecare dintre cele trei zile?

10) (24 februarie 2018) Irina aranjează scaunele în camera unde se va juca cu prietenii ei. Sunt 10 scaune; ea vrea să le aranjeze astfel încât în dreptul fiecărui perete să fie un număr egal de scaune (camera are patru pereți). Cum le aranjează fetița?

11) (28 februarie 2018) Adina a făcut mărțișoare pe care le-a vândut în trei zile, astfel: în prima zi a vândut o treime din numărul total și încă 16 mărțișoare; în ziua a doua a vândut o treime din mărțișoarele care au rămas și încă 16; în ziua a treia a vândut o treime din mărțișoarele care au rămas și restul de 16 mărțișoare. Câte mărțișoare a vândut Adina în fiecare din cele trei zile? Câte mărțișoare a vândut în total?

12) (4 martie 2018) Dacă adunăm descăzutul, scăzătorul și diferența unei scăderi, obținem 2490. Aflați descăzutul scăderii.

13) (7 martie 2018) Suma a două numere este 275, iar unul dintre ele este de patru ori mai mare decât celălalt. Care sunt numerele?

14) (9 martie 2018) Suma a două numere naturale este 374, iar diferența lor este 126. Care sunt numerele?

15) (24 martie 2018) Cristina, Andrei și Simona colecționează monede din diverse țări ale lumii. Cristina are cu 7 monede mai multe decât Simona și cu 4 monede mai puține decât Andrei. Câte monede ar trebui să primească Simona de la Cristina și Andrei, astfel încât cei trei copii să aibă același număr de monede?

16) (26 martie 2018) Pentru numerotarea paginilor unei cărți se folosesc 891 de cifre. Câte pagini are cartea, știind că numerotarea începe de la 1?

17) (8 august 2018) În două cutii sunt 240 de creioane. După ce se mută 33 de creioane din prima cutie în cea de-a doua, în prima rămân de două ori mai puține creioane decât în cea de-a doua. Câte creioane au fost la început în fiecare cutie?

18) (10 august 2018) Întreitul unui număr este cu 156 mai mare decât numărul. Aflați numărul.

Geometrie în spațiu

1) (24 ianuarie 2018) O gumă de șters în formă de prismă triunghiulară regulată dreaptă, notată FLORIN are înălțimea LI = 5cm și muchia bazei LO = 3cm. Pe fața FLO este trasată o linie care unește punctele P și T, mijloacele muchiilor OF și OL .

a) Calculați perimetrul și aria bazei.

b) Demonstrați că PT || (RIO).

c) Calculați cosinusul unghiului format de dreptele RI și LN. (Teză la matematică pe semestrul I, clasa a VIII-a, 14.12.2017, subiect propus de Ministerul Educației Naționale)

O gumă de șters în formă de prismă triunghiulară regulată dreaptă, notată FLORIN are înălțimea LI = 5cm și muchia bazei LO = 3cm. Pe fața FLO este trasată o linie care unește punctele P și T, mijloacele muchiilor OF și OL .

2) (25 ianuarie 2018) În figura de mai jos este reprezentat un pătrat ABCD cu AB = cm. Pe planul pătratului se construiesc perpendicularele AE și CF astfel încât AE = 8 cm și CF = 4 cm.

În figura de mai jos este reprezentat un pătrat ABCD cu AB = 8√2 cm. Pe planul pătratului se construiesc perpendicularele AE și CF astfel încât AE = 8 cm și CF = 4 cm.

a) Arătați că AC = 16cm.

b) Demonstrați ca aria triunghiului EBD este mai mica decat 96 cm2.

c) Calculați tangenta unghiului format de dreapta EF cu planul pătratului ABCD. (Teză la matematică pe semestrul I, clasa a VIII-a, 14.12.2017, subiect propus de Ministerul Educației Naționale)

3) (26 ianuarie 2018) Să se demonstreze că într-un cub ABCDA'B'C'D' perpendiculara din D pe diagonala C'A o taie pe aceasta într-un punct Q, astfel încât

(Geometrie, manual pentru clasa a VIII-a, 1993, problema 6, pagina 64)

4) (1 februarie 2018) Pe planul unui triunghi echilateral ABC de latură , se ridică perpendicularele AA' și BB'. Se știe că lungimea segmentului BB' este egală cu . Să se găsească AA' astfel încât:

a) triunghiul A'B'C să fie dreptunghic în B';

b) triunghiul A'B'C să fie isoscel, cu A'B' congruent cu A'C. (Geometrie, manual pentru clasa a VIII-a, 1993, problema 8, pagina 32)

5) (5 februarie 2018) Fie ABC un triunghi dreptunghic (măsura unghiului A este egală cu 90°) cu AB = 30 cm și AC = 40 cm. În vârful A se ridică o perpendiculară pe planul triunghiului, pe care se ia un punct D astfel încât AD = 18 cm. Să se calculeze distanța de la D la BC.

6) (9 februarie 2018) Un paralelipiped dreptunghic are dimensiunile proporționale cu numerele 2, 3, 5. Știind că diagonala paralelipipedului este de 2√38 cm, să se afle dimensiunile paralelipipedului. (Geometrie, manual pentru clasa a VIII-a, 1993, problema 13, pagina 65)

7) (13 februarie 2018) O prismă dreaptă ABCDA'B'C'D' are bazele romburi cu diagonalele de 10 cm și 24 cm. Știind că înălțimea prismei este de 7 cm, să se calculeze aria totală a prismei.

8) (17 februarie 2018) Un paralelipiped drept are laturile bazei de 6 cm și 10 cm și unghiul dintre ele de 60°. Știind că înălțimea paralelipipedului este de 12 cm, să se afle aria sa totală. (Geometrie, Manual pentru clasa a VIII-a, 1993, problema 4, pagina 63)

9) (21 februarie 2018) Fie ABCD pătrat și V un punct care nu aparține planului (ABC) astfel încât VA, VB, VC și VD sunt segmente congruente. Notăm cu O punctul de intersecție al diagonalelor AC și BD. Segmentul VO este perpendicular pe planul (ABC)? Explicați răspunsul.

10) (25 februarie 2018) Fie ABC un triunghi isoscel, cu lungimile laturilor AB și AC egale cu 5 cm și lungimea bazei BC egală cu 6 cm. Se ridică perpendiculara în A pe planul triunghiului ABC; pe această perpendiculară se ia un punct E astfel încât lungimea segmentului AE să fie egală cu 2√5 cm. Să se calculeze distanța de la punctul E la BC.

11) (1 martie 2018) Fie ABC un triunghi oarecare și punctul D în exteriorul planului triunghiului (ABC). Notăm cu G1, G2 și G3 centrele de greutate ale triunghiurilor ABD, BCD și ACD. Să arătăm că planul triunghiului (ABC) este paralel cu planul triunghiului (G1G2G3).

12) (11 martie 2018) Fie ABCDA'B'C'D' un trunchi de piramidă patrulateră regulată. Lungimile laturilor bazelor sunt de 14 cm și 10 cm, iar lungimea apotemei trunchiului este de 4 cm. Ce lungime are înălțimea piramidei din care provine trunchiul?

13) (14 martie 2018) Fie VABC o piramidă triunghiulară astfel încât VA = VB = VC și punctul O este proiecția vârfului V pe planul triunghiului (ABC). Arătați că punctul O este centrul cercului circumscris triunghiului ABC.

14) (22 martie 2018) Într-un paralelipiped dreptunghic, lungimea, lățimea și înălțimea acestuia sunt direct proporționale cu numerele 4, 2 și 7. Știind că volumul paralelipipedului este egal cu 1512 cm3, să se calculeze aria totală a acestuia.

15) (25 martie 2018) Într-o piramidă patrulateră regulată VABCD știm că lungimea apotemei este de 12 cm și măsura unghiului pe care-l face aceasta cu planul bazei este de 60°. Să se calculeze aria laterală, aria totală și volumul piramidei.

Algebră

1) (27 ianuarie 2018) Stabiliți dacă numărul n = (2√5 - 3)(2√5 + 3) + │4 - √20│ - 2(3 + √5) este rațional. (Teză la matematică pe semestrul I, clasa a VIII-a, 14.12.2017, subiect propus de Ministerul Educației Naționale)

2) (28 ianuarie 2018) Dacă , să se calculeze ( este diferit de 0).

3) (29 ianuarie 2018) a) Care sunt numerele de forma divizibile cu 3, dar care nu sunt divizibile cu 9?

b) Care sunt numerele de forma divizibile cu 4?

4) (2 februarie 2018) Compară numerele:

a) 527 și 727;

b) 315 și 912;

c) 232 și (23)2;

d) 510 și 225.

5) (6 februarie 2018) Să calculăm:

Ordinea operațiilor - mai întâi, înmulțirile și împărțirile, în ordinea în care apar în exercițiu.

6) (10 februarie 2018) Pentru ce valoare a lui , ecuația

Pentru ce valoare a lui m, ecuația are soluția 4?

are soluția 4?

7) (14 februarie 2018) Descompuneți în factori:

Descompuneți în factori. Dăm factor comun.

8) (18 februarie 2018) Rezolvați ecuația:

Rezolvați ecuația, respectând ordinea operațiilor.

9) (22 februarie 2018) Să se afle cel mai mare divizor comun pentru numerele:

Să se afle cel mai mare divizor comun pentru numerele.

10) (26 februarie 2018) Rezolvați ecuația:

Rezolvați ecuația.

11) (2 martie 2018) Determinați numărul natural , astfel încât să obțineți fracții echivalente:

Determinați numărul natural n, astfel încât să obțineți fracții echivalente.

12) (5 martie 2018) Fracția:

Fracția este echiunitară, subunitară sau supraunitară?

este echiunitară, subunitară sau supraunitară?

13) (11 martie 2018 - 10 martie) Aflați numerele x și y astfel încât să îndeplinească simultan (în același timp) condițiile:

Aflați numerele x și y astfel încât să îndeplinească simultan (în același timp) condițiile:

14) (12 martie 2018) Calculați:

Calculați, aducând fracțiile la același numitor.

15) (25 martie 2018) Calculați numărul de 7 ori mai mic decât .

16) (27 martie 2018) Calculați produsul fracțiilor și .

17) (28 martie 2018) Calculați:

18) (29 martie 2018) O mașină de spălat costă 1600 de lei. Cât va costa mașina de spălat după o reducere de 25%?

19) (9 august 2018) Calculați 5x + 5y, știind că 12x + 12y = 144.