Memorator Algebră

clasele 5 - 8

≡ Memorator Algebră

∎ Proprietățile divizibilității numerelor naturale

Exersează! - 4

A. Se dau șapte numere naturale, dintre care cinci sunt divizibile cu 3, unul este 16, iar ultimul este divizibil cu 6.

Completează casetele cu „A” pentru afirmațiile adevărate și cu „F” pentru afirmațiile false.

a) Produsul celor șapte numere nu este divizibil cu 3.

b) Produsul celor șapte numere este divizibil cu 4.

c) Suma celor șapte numere este divizibilă cu 3.

d) Suma celor șapte numere nu este divizibilă cu 6.

B. Se dau cinci numere naturale, dintre care trei sunt divizibile cu 10, iar două dintre ele au ultima cifră egală cu 5.

Completează casetele cu „A” pentru afirmațiile adevărate și cu „F” pentru afirmațiile false.

a) Suma numerelor nu este divizibilă cu 5.

b) Suma numerelor este divizibilă cu 10.

c) Produsul celor cinci numere este divizibil cu 2.

d) Produsul celor cinci numere nu este divizibil cu 10.

BONUS! Cu cât este egal numărul natural \({n}\) astfel încât produsul numerelor să fie divizibil cu \({10^n}\)?

Răspuns:

C. Se dau șase numere naturale, dintre care patru sunt divizibile cu 2.

Suma numerelor poate fi divizibilă cu 2? Explică răspunsul.

Răspuns:

Arată rezolvarea

produsul este divizibil cu orice factor al său și cu orice divizor al factorilor săi
suma este divizibilă cu orice divizor comun al termenilor săi (pe care îl putem da factor comun, ajungând astfel la un produs)

a) Produsul celor șapte numere nu este divizibil cu 3. F

pentru ca produsul să fie divizibil cu 3, este suficient ca un singur factor al produsului să fie divizibil cu 3;
cinci factori ai produsului sunt diviziibli cu 3, deci produsul este divizibil cu 3; înseamnă că afirmația este falsă.

b) Produsul celor șapte numere este divizibil cu 4. A

pentru ca produsul să fie divizibil cu 4, este suficient ca un singur factor al produsului să fie divizibil cu 4;
un factor al produsului este divizibil cu 4 (16 este divizibil cu 4), deci produsul este divizibil cu 4; înseamnă că afirmația este adevărată.

c) Suma celor șapte numere este divizibilă cu 3. F

dacă toți termenii sumei sunt divizibili cu 3, atunci suma este divizibilă cu 3;
un termen al sumei este 16, care nu este divizibil cu 3, deci suma nu este divizibilă cu 3; înseamnă că afirmația este falsă.

d) Suma celor șapte numere nu este divizibilă cu 6. A

dacă toți termenii sumei sunt divizibili cu 6, atunci suma este divizibilă cu 6;
dacă un singur termen al sumei nu este divizibil cu 6, atunci suma nu este divizibilă cu 6;
un termen al sumei este 16, care nu este divizibil cu 6, deci suma nu este divizibilă cu 6; înseamnă că afirmația este adevărată.

a) Suma numerelor nu este divizibilă cu 5. F

numerele care sunt divizibile cu 10 sunt divizibile și cu 5;
toți termenii sumei sunt divizibili cu 5, deci suma este divizibilă cu 5;
afirmația este falsă.

b) Suma numerelor este divizibilă cu 10. A

suma celor două numere care au ultima cifră egală cu 5 are ultima cifră egală cu 0, deci este divizibilă cu 10;
ceilalți trei termeni ai sumei sunt divizibili cu 10;
înseamnă că suma este divizibilă cu 10; afirmația este adevărată.

c) Produsul celor cinci numere este divizibil cu 2. A

cele trei numere care sunt divizibile cu 10 sunt divizibile și cu 2;
înseamnă că produsul este divizbili cu 2;
afirmația este adevărată.

d) Produsul celor cinci numere nu este divizibil cu 10. F

trei factori ai produsului sunt divizibili cu 10;
înseamnă că produsul este divizbil cu 10;
afirmația este falsă.

Răspunsul la BONUS!

deoarece trei factori ai produsului sunt divizibili cu 10, iar ceilalți doi sunt divizibili cu 5, rezultă că produsul are ultimele trei cifre egale cu 0; înseamnă că produsul este divizibil cu 10, 100 și 1000;
altfel spus, produsul este divizibil cu \({10^0}\) (cu 1), \({10^1}\), \({10^2}\) și \({10^3}\);
deci \({n \in \{0, 1, 2, 3 \}}\)

Suma celor patru numere care sunt divizibile cu 2 este divizibilă cu 2. Rămâne să cercetăm suma celorlalte două numere despre care nu se spune nimic.

dacă cele două numere sunt pare, atunci suma lor este număr par, deci divizibil cu 2; înseamnă că suma totală este divizibilă cu 2;
dacă cele două numere sunt impare, atunci suma lor este număr par, deci divizibil cu 2; înseamnă că suma totală este divizibilă cu 2;
dacă un număr este par, iar celălalt este impar, atunci suma lor este număr impar, deci nu este divizibilă cu 2; înseamnă că suma totală nu este divizibilă cu 2.

dacă un număr \({a }\) divide două sau mai multe numere, atunci \({a }\) divide și suma numerelor respective;
altfel spus, dacă termenii unei sume sunt divizibili cu numărul \({a }\), atunci suma este divizibilă cu numărul \({a }\);

invers nu este adevărat: dacă suma este divizibilă cu un număr, nu înseamnă că termenii sumei sunt divizibili cu acel număr (de exemplu: \({12}\) este divizibil cu \({3}\); scriem numărul \({12}\) ca sumă de doi termeni \({12 = 7 + 5 }\); termenii \({7}\) și \({5}\) nu sunt divizibili cu \({3}\));
dacă nici unul dintre termenii unei sume nu este divizibil cu un număr, atunci suma poate sau nu să fie divizibilă cu acel număr; de exemplu, 5 și 7 nu sunt divizibili cu 2, dar suma lor este divizibilă cu 2;
dacă un termen al sumei nu este divizibil cu un număr, iar toți ceilalți termeni sunt divizibili cu acel număr, atunci suma termenilor nu este divizibilă cu acel număr; de exemplu, numerele 3, 6 și 9 sunt divizibile cu 3; numărul 5 nu este divizibil cu 3; suma \({3+6+9+5 =23}\) nu este divizibilă cu 3;

dacă unul dintre factorii unui produs este divizibil cu numărul \({a }\), atunci produsul este divizibil cu numărul \({a }\).

invers nu este adevărat: dacă produsul este divizibil cu un număr, nu înseamnă că factorii sunt divizibili cu acel număr (de exemplu: \({12}\) este divizibil cu \({3}\); scriem numărul \({12}\) ca produs de doi factori \({12 = 2 \cdot 6 }\); factorul \({2}\) nu este divizibil cu \({3}\));

Exersează 1 | Exersează 2 |Exersează 3 | Exersează 4 | Exersează 5

⮜ Probabilități

Sistem de axe ortogonale ⮞