Memorator Algebră

clasele 5 - 8

≡ Memorator Algebră

∎ Mulțimi

Exersează! - 8

A. Adevărat sau fals? Completează cu A pentru afirmațiile adevărate și cu F pentru afirmațiile false.

a) \({3^{11} \in \{x \in ℕ \mid x \le 3^{44} \}}\)

b) \({10 \in \{x \in ℕ \mid 10 \le x \le 100 \}}\)

c) \({5^{26} \in \{x \in ℕ \mid x \le 3^{26} \}}\)

d) \({2^{94} \in \{x \in ℕ \mid x < 8^{32} \}}\)

e) \({0 \notin \emptyset }\)

f) \({9^{5} \in \{x \in ℕ \mid x \ge 3^{16} \}}\)

g) \({100^{0} \in \{x \in ℕ \mid x \mid 64 \}}\)

h) \({3^{16} \in \{x \in ℕ \mid x > 2^{24} \}}\)

Arată rezolvarea

a) mulțimea \({\{x \in ℕ \mid x \le 3^{44} \}}\) cuprinde numerele naturale care sunt mai mici sau egale cu \({3^{44}}\).

Dacă \({3^{11}}\) este mai mic sau egal cu \({3^{44}}\), atunci \({3^{11}}\) aparține mulțimii și afirmația este adevărată.

Comparăm \({3^{11}}\) cu \({3^{44}}\); sunt două puteri cu aceeași bază, deci comparăm exponenții. Cum \({11 < 44}\), rezultă că \({3^{11} < 3^{44}}\).

Am obținut că \({3^{11} \in \{x \in ℕ \mid x \le 3^{44} \}}\), deci afirmația este adevărată.

b) mulțimea \({\{x \in ℕ \mid 10 \le x \le 100 \}}\) cuprinde numerele naturale care sunt mai mari sau egale cu 10 și mai mici sau egale cu 100. Deoarece se folosește semnul \({\le}\), înseamnă că mulțimea conține și numerele 10 și 100. Deci 10 aparține mulțimii \({\{x \in ℕ \mid 10 \le x \le 100 \}}\). Afirmația este adevărată.

c) mulțimea \({\{x \in ℕ \mid x \le 3^{26} \}}\) cuprinde numerele naturale care sunt mai mici sau egale cu \({3^{26}}\).

Dacă \({5^{26}}\) este mai mic sau egal cu \({3^{26}}\), atunci \({5^{26}}\) aparține mulțimii și afirmația este adevărată.

Comparăm \({5^{26}}\) cu \({3^{26}}\); sunt două puteri cu același exponent, deci comparăm bazele. Cum \({5 > 3}\), rezultă că \({5^{26} > 3^{26}}\). Înseamnă că \({5^{26}}\) nu aparține mulțimii \({\{x \in ℕ \mid x \le 3^{26} \}}\).

Rezultă că afirmația \({5^{26} \in \{x \in ℕ \mid x \le 3^{26} \}}\) este falsă.

d) mulțimea \({\{x \in ℕ \mid x < 8^{32} \}}\) cuprinde numerele naturale care sunt mai mici decât \({8^{32}}\).

Dacă \({2^{94}}\) este mai mic decât \({8^{32}}\), atunci \({2^{94}}\) aparține mulțimii și afirmația este adevărată.

Comparăm \({2^{94}}\) cu \({8^{32}}\); sunt două puteri care au baze diferite și exponenți diferiți. Încercăm să le aducem la aceeași bază sau la același exponent, pentru a le putea compara.

Cum \({8=2^3}\), rezultă că \({8^{32} = (2^3)^{32}=2^{3 \; \cdot \;32}= 2^{96}}\).

Comparăm \({2^{94}}\) cu \({2^{96}}\). Puterile au aceeași bază, comparăm exponenții. Cum \({94 < 96}\), rezultă că \({2^{94} < 2^{96}}\). Înseamnă că \({2^{94}}\) aparține mulțimii \({\{x \in ℕ \mid x < 8^{32} \}}\).

Rezultă că afirmația \({2^{94} \in \{x \in ℕ \mid x < 8^{32} \}}\) este adevărată.

e) mulțimea vidă (notată \({\emptyset }\)) nu conține elemente, deci afirmația \({0 \notin \emptyset }\) este adevărată.

f) mulțimea \({ \{x \in ℕ \mid x \ge 3^{16} \}}\) cuprinde numerele naturale care sunt mai mari sau egale cu \({3^{16}}\).

Dacă \({9^{5}}\) este mai mare sau egal cu \({3^{16}}\), atunci \({9^{5}}\) aparține mulțimii și afirmația este adevărată.

Comparăm \({9^{5}}\) cu \({3^{16}}\); sunt două puteri care au baze diferite și exponenți diferiți. Încercăm să le aducem la aceeași bază sau la același exponent, pentru a le putea compara.

Cum \({9=3^2}\), rezultă că \({9^{5} = (3^2)^{5}=3^{2 \; \cdot \;5}= 3^{10}}\).

Comparăm \({3^{10}}\) cu \({3^{16}}\). Puterile au aceeași bază, comparăm exponenții. Cum \({10 < 16}\), rezultă că \({3^{10} < 3^{16}}\). Înseamnă că \({3^{10}}\) (egal cu \({9^{5}}\)) nu aparține mulțimii \({\{x \in ℕ \mid x \ge 3^{16} \}}\).

Rezultă că afirmația \({9^{5} \in \{x \in ℕ \mid x \ge 3^{16} \}}\) este falsă.

g) mulțimea \({ \{x \in ℕ \mid x \mid 64 \}}\) cuprinde numerele naturale care sunt divizori ai lui 64.

Deoarece \({100^{0} = 1}\), rezultă că afirmația este adevărată (1 este divizor al lui 64).

Reținem!

\({x^{0} = 1 \; \text{oricare} \; \text{ar} \; \text{fi} \; x \in ℕ}\).

1 este divizor al oricărui număr natural.

h) mulțimea \({ \{x \in ℕ \mid x > 2^{24} \}}\) cuprinde numerele naturale care sunt mai mari decât \({2^{24}}\).

Dacă \({3^{16}}\) este mai mare decât \({2^{24}}\), atunci \({3^{16}}\) aparține mulțimii și afirmația este adevărată.

Comparăm \({3^{16}}\) cu \({2^{24}}\); sunt două puteri care au baze diferite și exponenți diferiți. Încercăm să le aducem la aceeași bază sau la același exponent, pentru a le putea compara.

Observăm că nu le putem aduce la aceeași bază; încercăm să le aducem la același exponent.

Cum \({16=2 \cdot 8}\) și \({24=3 \cdot 8}\), vom încerca să scriem puterile astfel încât să aibă exponentul 8. Avem:

\({3^{16}=3^{2 \; \cdot \; 8}=(3^2)^8=9^8}\)

\({2^{24}=2^{3 \; \cdot \; 8}=(2^3)^8=8^8}\)

Comparăm \({9^{8}}\) cu \({8^{8}}\). Puterile au același exponent, comparăm bazele. Cum \({9 > 8}\), rezultă că \({9^{8} > 8^{8}}\), deci \({3^{16} > 2^{24}}\). Înseamnă că \({3^{16}}\) aparține mulțimii \({\{x \in ℕ \mid x > 2^{24} \}}\).

Rezultă că afirmația \({3^{16} \in \{x \in ℕ \mid x > 2^{24} \}}\) este adevărată.

B. Fie \({A= \{1,2,3,4 \}}\) și \({B= \{x \in ℕ \mid x=2n+1, n \in ℕ \}}\).

a) Câte elemente are mulțimea B?

b) Scrieți mulțimea B prin enumerarea elementelor sale.

Arată rezolvarea

C. Scrieți următoarele mulțimi prin enumerarea elementelor.

a) \({A= \{x \in ℕ \mid 2^x=8 \; \text{și} \; 9 \; \vdots \; x\}}\)

b) \({B= \{x \in ℕ \mid x=3^n \; \text{unde} \; n \in ℕ, n \le 4\}}\)

c) \({C= \{x \in ℕ \mid x \; \text{este} \; \text{pătrat} \; \text{perfect}, \; x \le 100\}}\)

d) \({D= \{x \in ℕ \mid 3^x \le 243\}}\)

e) \({E= \{x \in ℕ \mid x= 3n+1, \; \text{unde} \; n \in ℕ, 2 \le n \le 7\}}\)

f) \({F= \{x \in ℕ \mid x= 2n, \; \text{unde} \; n \in ℕ, n \ge 5\}}\)

g) \({G= \{x \in ℕ \mid 10^2 \le x^2 \le 15^2\}}\)

h) \({H= \{x \in ℕ \mid 2^x=8 \; \text{sau} \; 3^x =81\}}\)

Arată rezolvarea

a) mulțimea \({A= \{x \in ℕ \mid 2^x=8 \; \text{și} \; 9 \; \vdots \; x\}}\) este formată din numere naturale care trebuie să îndeplinească simultan condițiile legate prin cuvântul „și”:

să fie soluție a a ecuației \({2^x=8}\)
și să fie divizor al lui 9 (\({9 \; \vdots \; x}\) se citește „9 este divizibil cu \({x}\)”, deci \({x}\) este divizor al lui 9)

ne ocupăm de prima condiție:

rezolvăm ecuația \({2^x=8}\)
2 la ce putere ne dă 8?
\({2^3=8}\), deci \({x=3}\)

ne ocupăm de a doua condiție:

verificăm dacă \({x=3}\) este divizor al lui 9
3 este divizor al lui 9 - adevărat

rezultă că \({x=3}\) îndeplinește ambele condiții, deci 3 este element al mulțimii A (singurul element al acestei mulțimi).
\({A= \{3\}}\)

b) mulțimea \({B= \{x \in ℕ \mid x=3^n \; \text{unde} \; n \in ℕ, n \le 4\}}\) este formată din numere naturale care sunt puteri ale lui 3, astfel încât exponentul să fie număr natural mai mic sau egal cu 4.

pentru \({n=0}\), avem \({x=3^0=1}\)
pentru \({n=1}\), avem \({x=3^1=3}\)
pentru \({n=2}\), avem \({x=3^2=9}\)
pentru \({n=3}\), avem \({x=3^3=27}\)
pentru \({n=4}\), avem \({x=3^4=81}\)

numerele 1, 3, 9, 27 și 81 sunt numere naturale, așa cum se cere în enunțul mulțimii B
rezultă că \({B= \{1,3, 9, 27, 81\}}\)

c) mulțimea \({C= \{x \in ℕ \mid x \; \text{este} \; \text{pătrat} \; \text{perfect}, \; x \le 100\}}\) este formată din numere naturale care sunt pătrate perfecte, mai mici sau egale cu 100.

un pătrat perfect este de forma \({n^2}\), cu \({n \in ℕ}\)
calculăm pătratele perfecte până ajungem la un pătrat perfect egal sau mai mare decât 100

pentru \({n=0}\), avem \({0^2 = 0}\)

pentru \({n=1}\), avem \({1^2 = 1}\)

pentru \({n=2}\), avem \({2^2 = 4}\)

pentru \({n=3}\), avem \({3^2 = 9}\)

pentru \({n=4}\), avem \({4^2 = 16}\)

pentru \({n=5}\), avem \({5^2 = 25}\)

pentru \({n=6}\), avem \({6^2 = 36}\)

pentru \({n=7}\), avem \({7^2 = 49}\)

pentru \({n=8}\), avem \({8^2 = 64}\)

pentru \({n=9}\), avem \({9^2 = 81}\)

pentru \({n=10}\), avem \({10^2 = 100}\)

am obținut pătratele perfecte mai mici sau egale cu 100: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100.

numerele 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 sunt numere naturale, așa cum se cere în enunțul mulțimii C
rezultă că \({C= \{0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100\}}\)

d) mulțimea \({D= \{x \in ℕ \mid 3^x \le 243\}}\) este formată din numere naturale \({x}\) astfel încât \({3^x }\) să fie mai mici sau egale cu 243.
3 la ce putere ne dă un rezultat mai mic sau egal cu 243?

\({3^0=1}\) este mai mic decât 243
\({3^1=3}\) este mai mic decât 243
\({3^2=9}\) este mai mic decât 243
\({3^3=27}\) este mai mic decât 243
\({3^4=81}\) este mai mic decât 243
\({3^5=243}\) este egal cu 243

numerele 0, 1, 2, 3, 4 și 5 sunt numere naturale, așa cum se cere în enunțul mulțimii D (mulțimea D este formată din exponenții puterilor lui 3 care respectă condiția dată)
rezultă că \({D= \{0, 1, 2, 3, 4, 5 \}}\)

e) mulțimea \({E= \{x \in ℕ \mid x= 3n+1, \; \text{unde} \; n \in ℕ, 2 \le n \le 7\}}\) este formată din numere naturale de forma \({x= 3n+1}\), unde \({n}\) este un număr natural mai mare sau egal cu 2 și mai mic sau egal cu 7.
sunt 6 numere naturale mai mari sau egale cu 2 și mai mici sau egale cu 7:

pentru \({n=2}\), avem \({x=3 \cdot 2+1=7}\)
pentru \({n=3}\), avem \({x=3 \cdot 3+1=10}\)
pentru \({n=4}\), avem \({x=3 \cdot 4+1=13}\)
pentru \({n=5}\), avem \({x=3 \cdot 5+1=16}\)
pentru \({n=6}\), avem \({x=3 \cdot 6+1=19}\)
pentru \({n=7}\), avem \({x=3 \cdot 7+1=22}\)

numerele 7, 10, 13, 16, 19 și 22 sunt numere naturale, așa cum se cere în enunțul mulțimii E
rezultă că \({E= \{7, 10, 13, 16, 19,22\}}\)

f) mulțimea \({F= \{x \in ℕ \mid x= 2n, \; \text{unde} \; n \in ℕ, n \ge 5\}}\) este formată din numere naturale de forma \({x= 2n}\) (numere pare), unde \({n}\) este un număr natural mai mare sau egal cu 5. Înseamnă că \({n}\) poate fi 5, 6, 7, 8, 9, 10, .... Rezultă că mulțimea F are o infinitate de elemente. Vom calcula câteva dintre ele.

pentru \({n=5}\), avem \({x=2 \cdot 5=10}\)
pentru \({n=6}\), avem \({x=2 \cdot 6=12}\)
pentru \({n=7}\), avem \({x=2 \cdot 7=14}\)
pentru \({n=8}\), avem \({x=2 \cdot 8=16}\)
pentru \({n=9}\), avem \({x=2 \cdot 9=18}\)
pentru \({n=10}\), avem \({x=2 \cdot 10=20}\)
\({...}\)

mulțimea F este formată din numerele naturale pare mai mari sau egale cu 10
\({F= \{10, 12, 14, 16, 18,20, ...\}}\)

g) mulțimea \({G= \{x \in ℕ \mid 10^2 \le x^2 \le 15^2\}}\) este formată din numere naturale care, ridicate la pătrat, dau rezultate cuprinse între 100 și 225 (\({10^2=100}\) și \({15^2=225}\)).
să vedem ce numere naturale au pătratul cuprins între 100 și 225. Din inegalitatea \({10^2 \le x^2 \le 15^2}\) se observă că \({10 \le x \le 15}\) (\({x}\) este mai mare sau egal cu 10 și mai mic sau egal cu 15)
\({G= \{10, 11, 12, 13, 14, 15\}}\)

h) mulțimea \({H= \{x \in ℕ \mid 2^x=8 \; \text{sau} \; 3^x =81\}}\) este formată din numere naturale care trebuie să îndeplinească una dintre condițiile legate prin cuvântul „sau”:

să fie soluție a a ecuației \({2^x=8}\)
sau să fie soluție a a ecuației \({3^x=81}\)

ne ocupăm de prima condiție:

rezolvăm ecuația \({2^x=8}\)
2 la ce putere ne dă 8?
\({2^3=8}\), deci \({x=3}\)

ne ocupăm de a doua condiție:

rezolvăm ecuația \({3^x=81}\)
3 la ce putere ne dă 81?
\({3^4=81}\), deci \({x=4}\)

rezultă că \({x}\) poate fi 3 sau 4.
\({H= \{3, 4\}}\)

⮜ Împărţirea unei fracţii zecimale cu un număr finit de zecimale nenule la un număr natural nenul

Relații între mulțimi ⮞