facebook | mathema.romania@gmail.com
Memorator Algebră
clasele 5 - 8
- Numere naturale
- Ce sunt numerele naturale
- Scrierea și citirea numerelor naturale
- Scrierea unui număr natural ca sumă de produse
- Succesor. Predecesor
- Aproximarea. Estimarea. Rotunjirea
- Reprezentarea pe axa numerelor
- Compararea numerelor naturale
- Operații cu numere naturale
- • Adunarea
- • Scăderea
- • Înmulțirea. Factor comun
- • Împărțirea
- Ordinea operațiilor +, -, x, :
- Puterea cu exponent natural a unui număr natural
- Divizibilitatea
- Descompunerea unui număr natural în produs de puteri de numere prime
- Cel mai mare divizor comun (c.m.m.d.c.)
- Cel mai mic multiplu comun (c.m.m.m.c.)
- Proprietăţile divizibilităţii numerelor naturale
- Ce sunt fracţiile
- Fracţii subunitare, echiunitare, supraunitare
- Fracţii echivalente
- Reprezentarea fracţiilor pe axa numerelor
- Compararea fracţiilor
- Introducerea întregilor în fracţie
- Scoaterea întregilor din fracţie
- Amplificarea fracţiilor
- Simplificarea fracţiilor
- Fracţii ireductibile
- Aducerea fracţiilor la acelaşi numitor
- Adunarea şi scăderea fracţiilor
- Înmulţirea fracţiilor
- Împărţirea fracţiilor
- O fracţie dintr-un număr. O fracţie dintr-o fracţie
- Procente. Procent dintr-un număr. Procent dintr-o fracţie
- Media aritmetică
- Puterea unei fracţii
- Ce este fracţia zecimală
- Transformarea unei fracţii ordinare în fracţie zecimală
- Transformarea unei fracţii zecimale în fracţie ordinară
- Reprezentarea fracţiilor zecimale pe axa numerelor
- Compararea fracţiilor zecimale
- Adunarea şi scăderea fracţiilor zecimale
- Înmulțirea fracțiilor zecimale cu un număr finit de zecimale nenule
- Împărțirea a două numere naturale cu rezultat fracție zecimală
- Împărţirea unei fracţii zecimale cu un număr finit de zecimale nenule la un număr natural nenul
- Ce sunt numerele întregi
- Adunarea numerelor întregi
- Scăderea numerelor întregi
- Înmulţirea numerelor întregi
- Împărţirea numerelor întregi
- Puterea cu exponent număr natural a unui număr întreg nenul
- Ordinea efectuării operaţiilor şi folosirea parantezelor - numere întregi
- Ecuaţii care se rezolvă în mulţimea numerelor întregi
- Probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuaţiilor în \({ℤ}\)
- Inecuaţii care se rezolvă în mulţimea numerelor întregi
- Probleme care se rezolvă cu ajutorul inecuaţiilor în \({ℤ}\)
- Ce sunt numerele raţionale
- • Relaţia între numerele naturale, numerele întregi şi numerele raţionale
- • Opusul unui număr rațional
- • Reprezentarea pe axă a unui număr rațional
- • Modulul unui număr rațional
- • Compararea numerelor raționale
- Adunarea și scăderea numerelor raţionale
- • Proprietăți
- Înmulţirea numerelor raţionale
- Împărţirea numerelor raţionale
- Puterea cu exponent număr întreg a unui număr raţional nenul
- Ordinea efectuării operaţiilor cu numere raţionale şi folosirea parantezelor
- Ecuaţii de gradul 1 în mulţimea numerelor raţionale
- Probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuaţiilor în mulţimea numerelor raţionale
- Rădăcina pătrată a pătratului unui număr natural
- Rădăcina pătrată a pătratului unui număr întreg
- Rădăcina pătrată a pătratului unui număr rațional
- Cum încadrăm un număr între două pătrate perfecte consecutive
- Aproximarea rădăcinii pătrate a unui număr rațional pozitiv
- Scoaterea factorilor de sub radical
- Introducerea factorilor sub radical
- Numere iraționale
- Mulțimea numerelor reale
- Modulul unui număr real
- Compararea și ordonarea numerelor reale
- Reprezentarea prin aproximări a numerelor reale pe axa numerelor
- Operații cu numere reale
- • Adunarea și scăderea
- • Înmulțirea
- • Împărțirea
- • Puteri cu exponent număr întreg
- • Reguli de calcul cu radicali
- • Ordinea efectuării operațiilor
- Raționalizarea numitorului (prima parte) de forma \({a\sqrt{b}}\)
- Media geometrică (proporțională) a două numere reale pozitive
- Media aritmetică ponderată
- Ecuații de forma \({x^2 = a \in \mathbf{R}}\)
sisteme de ecuaţii liniare
- Transformarea unei egalități într-o egalitate echivalentă. Identități
- Ecuații de forma \({ax + b = 0 }\), \({a, b \in \mathbf{R}}\)
- Sisteme de două ecuații liniare cu două necunoscute
- • Metoda substituției
- • Metoda reducerii
- Probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuațiilor
- Probleme care se rezolvă cu ajutorul sistemelor de ecuații
- Expresii algebrice
- Operații cu numere reale reprezentate prin litere
- • Adunarea și scăderea
- • Înmulțirea, împărțirea, ridicarea la putere
- Formule de calcul prescurtat
- • Raționalizarea numitorului - partea a doua
- Descompuneri în factori
- Fracții algebrice
- • Ce sunt fracțiile algebrice
- • Amplificarea și simplificarea fracțiilor algebrice
- • Operații cu fracții algebrice
- • Adunarea și scăderea fracțiilor algebrice
- • Înmulțirea fracțiilor algebrice
- • Împărțirea fracțiilor algebrice
- • Ridicarea la putere a fracțiilor algebrice
a datelor
- Organizarea datelor. Tabele. Frecvențe
- Grafice
- • Grafice cu bare verticale (coloane)
- • Grafice cu bare orizontale (benzi)
- • Grafice cu linii
- • Diagrame circulare
- Indicatorii tendinței centrale
- • Media
- • Mediana
- • Modul și amplitudinea
- Probabilități
- Produs cartezian
- Sistem de axe ortogonale
- Distanța dintre două puncte știind coordonatele lor. Mijlocul unui segment
- 1. Numere naturale
- • Ce sunt numerele naturale
- • Scrierea și citirea numerelor naturale
- • Scrierea unui număr natural ca sumă de produse
- • Succesor. Predecesor
- • Aproximarea. Estimarea. Rotunjirea
- • Reprezentarea pe axa numerelor
- • Compararea numerelor naturale
- • Operații cu numere naturale
- • Adunarea
- • Scăderea
- • Înmulțirea. Factor comun
- • Împărțirea
- • Ordinea operațiilor +, -, x, :
- 2. Puterea cu exponent natural a unui număr natural
- • Ce sunt puterile. Pătratul unui număr natural
- • Reguli de calcul cu puteri
- • Compararea puterilor
- • Scrierea în baza 10. Scrierea în baza 2
- • Ordinea operațiilor +, -, x, :, ab
- 3. Divizibilitatea
- • Divizor. Multiplu
- • Criterii de divizibilitate
- • Numere prime. Numere compuse
- • Ciurul lui Eratostene
- • Cum stabilim dacă un număr natural este prim
- • Descompunerea unui număr natural în produs de puteri de numere prime
- • Cel mai mare divizor comun (c.m.m.d.c.)
- • Cel mai mic multiplu comun (c.m.m.m.c.)
- • Proprietăţile divizibilităţii numerelor naturale
- 4. Fracţii
- • Ce sunt fracţiile
- • Fracţii subunitare, echiunitare, supraunitare
- • Fracţii echivalente
- • Reprezentarea fracţiilor pe axa numerelor
- • Compararea fracţiilor
- • Introducerea întregilor în fracţie
- • Scoaterea întregilor din fracţie
- • Amplificarea fracţiilor
- • Simplificarea fracţiilor
- • Fracţii ireductibile
- • Aducerea fracţiilor la acelaşi numitor
- • Adunarea şi scăderea fracţiilor
- • Înmulţirea fracţiilor
- • Împărţirea fracţiilor
- • O fracţie dintr-un număr. O fracţie dintr-o fracţie
- • Procente. Procent dintr-un număr. Procent dintr-o fracţie
- • Media aritmetică
- • Puterea unei fracţii
- 5. Fracții zecimale
- • Ce este fracţia zecimală
- • Transformarea unei fracţii ordinare în fracţie zecimală
- • Transformarea unei fracţii zecimale în fracţie ordinară
- • Reprezentarea fracţiilor zecimale pe axa numerelor
- • Compararea fracţiilor zecimale
- • Adunarea şi scăderea fracţiilor zecimale
- • Înmulțirea fracțiilor zecimale cu un număr finit de zecimale nenule
- • Împărțirea a două numere naturale cu rezultat fracție zecimală
- • Împărţirea unei fracţii zecimale cu un număr finit de zecimale nenule la un număr natural nenul
- 6. Mulțimi
- • Ce sunt mulţimile
- • Relaţii între mulţimi
- • Operaţii cu mulţimi
- • Mulțimi speciale
- 7. Rapoarte şi proporţii
- • Ce sunt rapoartele şi proporţiile
Proprietatea fundamentală a proporţiilor - • Determinarea unui termen necunoscut dintr-o proporție
- • Proporții derivate
- • Șir de rapoarte egale
- • Mărimi direct proporționale
- • Mărimi invers proporționale
- • Regula de trei simplă
- 8. Numere întregi
- • Ce sunt numerele întregi
- • Adunarea numerelor întregi
- • Scăderea numerelor întregi
- • Înmulţirea numerelor întregi
- • Împărţirea numerelor întregi
- • Puterea cu exponent număr natural a unui număr întreg nenul
- • Ordinea efectuării operaţiilor şi folosirea parantezelor - numere întregi
- • Ecuaţii care se rezolvă în mulţimea numerelor întregi
- • Probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuaţiilor în \({ℤ}\)
- • Inecuaţii care se rezolvă în mulţimea numerelor întregi
- • Probleme care se rezolvă cu ajutorul inecuaţiilor în \({ℤ}\)
- 9. Numere raţionale
- • Ce sunt numerele raţionale
- • Relaţia între numerele naturale, numerele întregi şi numerele raţionale
- • Opusul unui număr rațional
- • Reprezentarea pe axă a unui număr rațional
- • Modulul unui număr rațional
- • Compararea numerelor raționale
- • Adunarea și scăderea numerelor raţionale
- • Proprietăți
- • Înmulţirea numerelor raţionale
- • Împărţirea numerelor raţionale
- • Puterea cu exponent număr întreg a unui număr raţional nenul
- • Ordinea efectuării operaţiilor cu numere raţionale şi folosirea parantezelor
- • Ecuaţii de gradul 1 în mulţimea numerelor raţionale
- • Probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuaţiilor în mulţimea numerelor raţionale
- 10. Numere reale
- • Rădăcina pătrată a pătratului unui număr natural
- • Rădăcina pătrată a pătratului unui număr întreg
- • Rădăcina pătrată a pătratului unui număr rațional
- • Cum încadrăm un număr între două pătrate perfecte consecutive
- • Aproximarea rădăcinii pătrate a unui număr rațional pozitiv
- • Scoaterea factorilor de sub radical
- • Introducerea factorilor sub radical
- • Numere iraționale
- • Mulțimea numerelor reale
- • Modulul unui număr real
- • Compararea și ordonarea numerelor reale
- • Reprezentarea prin aproximări a numerelor reale pe axa numerelor
- • Operații cu numere reale
- • Adunarea și scăderea
- • Înmulțirea
- • Împărțirea
- • Puteri cu exponent număr întreg
- • Reguli de calcul cu radicali
- • Ordinea efectuării operațiilor
- • Raționalizarea numitorului (prima parte) de forma \({a\sqrt{b}}\)
- • Media geometrică (proporțională) a două numere reale pozitive
- • Media aritmetică ponderată
- • Ecuații de forma \({x^2 = a \in \mathbf{R}}\)
- 11. Ecuaţii şi
sisteme de ecuaţii liniare - • Transformarea unei egalități într-o egalitate echivalentă. Identități
- • Ecuații de forma \({ax + b = 0 }\), \({a, b \in \mathbf{R}}\)
- • Sisteme de două ecuații liniare cu două necunoscute
- • Metoda substituției
- • Metoda reducerii
- • Probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuațiilor
- • Probleme care se rezolvă cu ajutorul sistemelor de ecuații
- 12. Intervale de numere reale
- • Mulțimi definite printr-o proprietate comună a elementelor lor
- • Intervale de numere reale
- • Explicitarea modulului
- • Partea întreagă. Partea fracționară
- • Operații cu intervale
- 13. Inecuaţii în \({\mathbf{R}}\)
- • Relația de inegalitate pe mulțimea numerelor reale
- • Inecuații de forma \({ax + b \ge 0 }\) (\({\le, <, > }\)), \({a, b \in \mathbf{R}}\)
- • Probleme care se rezolvă cu ajutorul inecuațiilor
- 14. Calcul algebric în \({\mathbf{R}}\)
- • Expresii algebrice
- • Operații cu numere reale reprezentate prin litere
- • Adunarea și scăderea
- • Înmulțirea, împărțirea, ridicarea la putere
- • Formule de calcul prescurtat
- • Raționalizarea numitorului - partea a doua
- • Descompuneri în factori
- • Fracții algebrice
- • Ce sunt fracțiile algebrice
- • Amplificarea și simplificarea fracțiilor algebrice
- • Operații cu fracții algebrice
- • Adunarea și scăderea fracțiilor algebrice
- • Înmulțirea fracțiilor algebrice
- • Împărțirea fracțiilor algebrice
- • Ridicarea la putere a fracțiilor algebrice
- 15. Ecuația de gradul 2
- • Forma, rezolvarea, discuția ecuației de gradul 2
- • Descompunerea în factori
- • Relațiile lui Viète
- • Ecuații bipătrate
- 16. Funcţia de gradul 1
- • Ce sunt funcțiile
- • Graficul unei funcții. Reprezentarea geometrică a graficului
- • Funcția de gradul 1 - definită pe \({\mathbf{R}}\)
- • Definită pe un interval mărginit
- • Definită pe un interval nemărginit
- • Definită pe o mulțime finită
- 17. Elemente de organizare
a datelor - • Organizarea datelor. Tabele. Frecvențe
- • Grafice
- • Grafice cu bare verticale (coloane)
- • Grafice cu bare orizontale (benzi)
- • Grafice cu linii
- • Diagrame circulare
- • Indicatorii tendinței centrale
- • Media
- • Mediana
- • Modul și amplitudinea
- • Probabilități
- • Produs cartezian
- • Sistem de axe ortogonale
- • Distanța dintre două puncte știind coordonatele lor. Mijlocul unui segment
∎ Mulțimi
Exersează! - 4
A. Fie mulțimea \({A= \{x \in ℕ \mid 3 < x < 9\}}\)
a) Explică ce elemente conține mulțimea A.
b) Scrie mulțimea A prin enumerarea elementelor sale.
c) Ce poți spune despre mulțimile \({A= \{x \in ℕ \mid 3 < x < 9\}}\) și \({B= \{x \in ℕ \mid 4 \le x \le 8\}}\)?
- a) Mulțimea A conține numerele naturale mai mari decât 3 și mai mici decât 9.
- b) \({A= \{4,5,6,7,8\}}\)
- c) Mulțimile A și B au aceleași elemente, pentru că scrierile \({3 < x < 9}\) și \({4 \le x \le 8}\) au aceeași semnificație:
- \({3 < x < 9}\) înseamnă că 3 și 9 nu sunt cuprinse în mulțimea A, deci cel mai mic număr din A este 4; cel mai mare număr din mulțimea A este 8.
- \({4 \le x \le 8}\) înseamnă că \({x}\) este mai mare sau egal cu 4 și mai mic sau egal cu 8; deci 4 și 8 sunt în mulțimea A.
- \({A=B= \{4,5,6,7,8\}}\)
B. Fie mulțimea \({B= \{x \in ℕ \mid 105 < x \le 112\}}\)
a) Explică ce elemente conține mulțimea B.
b) Scrie mulțimea B prin enumerarea elementelor sale.
c) Ce poți spune despre mulțimile \({B= \{x \in ℕ \mid 105 < x \le 112\}}\) și \({C= \{x \in ℕ \mid 106 \le x < 113\}}\)?
- a) Mulțimea B conține numerele naturale mai mari decât 105 și mai mici sau egale cu 112.
- b) \({B= \{106, 107, 108, 109, 110, 111, 112\}}\)
- c) Mulțimile B și C au aceleași elemente, pentru că scrierile \({105 < x \le 112}\) și \({106 \le x < 113}\) au aceeași semnificație:
- \({105 < x \le 112}\) înseamnă că \({x}\) este mai mare decât 105 (rezultă că \({x}\) nu poate fi 105) și mai mic sau egal cu 112 (rezultă că \({x}\) poate fi 112); începem enumerarea de la 106 și ultimul element al mulțimii B este 112.
- \({106 \le x < 113}\) înseamnă că \({x}\) este mai mare sau egal cu 106, deci începem enumerarea de la 106; \({x}\) este mai mic decât 113 (nu poate fi 113), deci ultimul element al lui C este 112.
- \({B=C= \{106,107,108,109,110,111,112\}}\)
C. Fie mulțimea \({C= \{x \in ℕ \mid 96 \le x < 103\}}\)
a) Explică ce elemente conține mulțimea C.
b) Scrie mulțimea C prin enumerarea elementelor sale.
c) Ce poți spune despre mulțimile \({C= \{x \in ℕ \mid 96 \le x < 103\}}\) și \({D= \{x \in ℕ \mid 95 < x \le 102\}}\)?
- a) Mulțimea C conține numerele naturale mai mari sau egale cu 96 și mai mici decât 103.
- b) \({C= \{96, 97, 98, 99, 100, 101, 102\}}\)
- c) Mulțimile C și D au aceleași elemente, pentru că scrierile \({96 \le x < 103}\) și \({95 < x \le 102}\) au aceeași semnificație:
- \({96 \le x < 103}\) înseamnă că \({x}\) este mai mare sau egal cu 96 (rezultă că \({x}\) poate fi 96) și mai mic decât 103 (rezultă că \({x}\) nu poate fi 103); începem enumerarea de la 96 și ultimul element al mulțimii C este 102.
- \({95 < x \le 102}\) înseamnă că \({x}\) este mai mare decât 95 (nu poate fi 95), deci începem enumerarea de la 96; \({x}\) este mai mic sau egal cu 102 (poate fi 102), deci ultimul element al lui D este 102.
- \({C=D= \{96, 97, 98, 99, 100, 101, 102\}}\)
D. Fie mulțimea \({D= \{x \in ℕ \mid 15 \le x \le 22\}}\)
a) Explică ce elemente conține mulțimea D.
b) Scrie mulțimea D prin enumerarea elementelor sale.
c) Ce poți spune despre mulțimile \({D= \{x \in ℕ \mid 15 \le x \le 22\}}\) și \({E= \{x \in ℕ \mid 14 < x < 23\}}\)?
- a) Mulțimea D conține numerele naturale mai mari sau egale cu 15 și mai mici sau egale cu 22.
- b) \({D= \{15,16,17,18,19,20,21,22\}}\)
- c) Mulțimile D și E au aceleași elemente, pentru că scrierile \({15 \le x \le 22}\) și \({14 < x < 23}\) au aceeași semnificație:
- \({15 \le x \le 22}\) înseamnă că \({x}\) este mai mare sau egal cu 15 (rezultă că \({x}\) poate fi 15) și mai mic sau egal cu 22 (rezultă că \({x}\) poate fi 22); începem enumerarea de la 15 și ultimul element al mulțimii D este 22.
- \({14 < x < 23}\) înseamnă că \({x}\) este mai mare decât 14, deci începem enumerarea de la 15; \({x}\) este mai mic decât 23 (nu poate fi 23), deci ultimul element al lui E este 22.
- \({D=E= \{15,16,17,18,19,20,21,22\}}\)
E. Fie mulțimea \({E= \{x \in ℕ \mid 26 < x \le 31\}}\)
a) Explică ce elemente conține mulțimea E.
b) Scrie mulțimea E prin enumerarea elementelor sale.
c) Scrie în limbaj matematic o mulțime F care să aibă aceleași elemente ca și mulțimea E.
- a) Mulțimea E conține numerele naturale mai mari decât 26 și mai mici sau egale cu 31.
- b) \({E= \{27,28,29,30,31\}}\)
- c) Mulțimea F trebuie să aibă aceleași elemente ca și mulțimea E, deci \({E=F= \{27,28,29,30,31\}}\).
- rezultă că F trebuie să aibă elemente numere naturale, mai mari sau egale cu 27 și mai mici strict decât 32: \({E= \{x \in ℕ \mid 27 \le x < 32\}}\).
Exersează 1 | Exersează 2| Exersează 3 | Exersează 4 | Exersează 5 | Exersează 6 | Exersează 7 | Exersează 8
