1. Mulțimea \({A= \{x \in ℕ \mid x < 100 \; \text{și} \; 5 \mid x\}}\) o înțelegem astfel:

• elementele mulțimii A sunt notate cu \({x}\)
• \({x \in ℕ^*}\) înseamnă că \({x}\) este număr natural diferit de 0 (nenul)
• \({x < 100}\) înseamnă că \({x}\) este număr mai mic decât 100
• cuvântul „și” înseamnă că elementele mulțimii trebuie obligatoriu să îndeplinească cele două condiții legate prin acest cuvânt
• citim \({5 \mid x}\) ----- 5 îl divide pe \({x}\). Înseamnă că \({x}\) este divizibil cu 5 sau \({x}\) se împarte exact la 5 sau \({x}\) este multiplu de 5. Este adevărată oricare dintre exprimările acestea.
• rezultă că mulțimea A este formată din numerele naturale nenule mai mici decât 100, care sunt divizibile cu 5
• putem spune și așa: mulțimea A este formată din numerele naturale nenule mai mici decât 100, care se împart exact la 5
• sau mulțimea A este formată din numerele naturale nenule mai mici decât 100, multipli de 5.


• sunt adevărate afirmațiile a), d) și e).



2. Numerele naturale nenule mai mici decât 100 și care sunt divizibile cu 5 sunt: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90 și 95.

Rezultă că \({A= \{5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95\}}\).

Mulțimea \({B= \{x \in ℕ \mid 43 < x < 56 \; \text{și} \; 11 \mid x\}}\) o înțelegem astfel:

• elementele mulțimii B sunt notate cu \({x}\)
• \({x \in ℕ}\) înseamnă că \({x}\) este număr natural
• \({43 < x < 56}\) înseamnă că \({x}\) cuprins între 43 și 46 (fără 43 și fără 56); altfel spus, \({x}\) este mai mare decât 43 și mai mic decât 56
• cuvântul „și” înseamnă că elementele mulțimii trebuie obligatoriu să îndeplinească cele două condiții legate prin acest cuvânt
• citim \({11 \mid x}\) ----- 11 îl divide pe \({x}\). Înseamnă că \({x}\) este divizibil cu 11 sau \({x}\) se împarte exact la 11 sau \({x}\) este multiplu de 11. Este adevărată oricare dintre exprimările acestea.
• rezultă că mulțimea B este formată din numerele naturale mai mari decât 43 și mai mici decât 56, care sunt divizibile cu 11
• putem spune și așa: mulțimea B este formată din numerele naturale mai mari decât 43 și mai mici decât 56, care se împart exact la 11
• sau mulțimea B este formată din numerele naturale cuprinse între 43 și 56, care se împart exact la 11
• sau mulțimea B este formată din numerele naturale cuprinse între 43 și 56, multipli de 11
• sau mulțimea B este formată din numerele naturale cuprinse între 43 și 56, care se divid cu 11.
• sunt adevărate afirmațiile a) și b).
  
  

2. Numerele naturale mai mari decât 43 și mai mici decât 56 și care sunt divizibile cu 11 sunt: 44 și 55.

Rezultă că \({B= \{44, 55\}}\).

Mulțimea \({C= \{x \in ℕ \mid 10 \le x \le 20 \; \text{și} \; 10 \; \vdots \; x\}}\) o înțelegem astfel:

• elementele mulțimii C sunt notate cu \({x}\)
• \({x \in ℕ}\) înseamnă că \({x}\) este număr natural
• \({10 \le x \le 20}\) înseamnă că \({x}\) mai mare sau egal cu 10 și mai mic sau egal cu 20
• cuvântul „și” înseamnă că elementele mulțimii trebuie obligatoriu să îndeplinească cele două condiții legate prin acest cuvânt
• citim \({10 \; \vdots \; x}\) ----- 10 este divizibil cu \({x}\). Înseamnă că 10 se împarte exact la \({x}\) sau 10 este multiplu de \({x}\) sau \({x}\) este divizor al lui 10.
• rezultă că mulțimea C este formată din numerele naturale mai mari mari sau egale cu 10 și mai mici sau egale cu 10, care sunt și divizori ai lui 10.
• este adevărată afirmația b).
  
  

2. Divizorii lui 10 sunt 1, 2, 5, și 10. Dintre aceștia, doar 10 respectă condiția \({10 \le x \le 20}\).

Rezultă că \({C= \{10\}}\).

Notăm cu M mulțimea din enunț și cu \({x}\) elementele sale.

• elementele lui M sunt numere naturale; în limbaj matematic, vom scrie \({x \in ℕ}\) (cu \({ℕ}\) notăm mulțimea numerelor naturale, simbolul \({\in}\) înseamnă „aparține”); citim „\({x}\) aparține lui N” sau „\({x}\) aparține mulțimii numerelor naturale”.
• numerele mai mari decât 4 și mai mici decât 18 se scriu în limbaj matematic astfel:\({4 < x < 18}\).
• numerele divizibile cu 4 le scriem în limbaj matematic astfel: \({x \; \vdots \; 4}\)
• acum punem laolaltă toate condițiile de mai sus și sriem mulțimea M astfel:

\({M= \{x \in ℕ \mid 4 < x < 18 \; \text{și} \; x \; \vdots \; 4\}}\)

• numerele cuprinse între 4 și 18, divizibile cu 4, sunt 8, 12, 16; acestea sunt elementele mulțimii M.

\({M= \{8,12, 16\}}\)

Notăm cu P mulțimea din enunț și cu \({x}\) elementele sale.

• elementele lui P sunt numere naturale; în limbaj matematic, vom scrie \({x \in ℕ}\) (cu \({ℕ}\) notăm mulțimea numerelor naturale, simbolul \({\in}\) înseamnă „aparține”); citim „\({x}\) aparține lui N” sau „\({x}\) aparține mulțimii numerelor naturale”.
• numerele mai mari decât 10 se scriu în limbaj matematic astfel: \({x > 10}\).
• divizorii lui 50 îi scriem în limbaj matematic astfel: \({x \mid 50}\) (\({x}\) îl divide pe 50) sau \({50 \; \vdots \; x}\) (50 este divizibil cu \({x}\)).
• acum punem laolaltă toate condițiile de mai sus și scriem mulțimea P astfel:

\({P= \{x \in ℕ \mid x > 10 \; \text{și} \; x \mid 50\}}\)

sau \({P= \{x \in ℕ \mid x > 10 \; \text{și} \;50 \; \vdots \; x\}}\).

• divizorii lui 50 sunt 1, 2, 5, 10, 25, 50; dintre aceștia, îi alegem pe cei care sunt mai mari decât 10: 25 și 50.

rezultă că \({P= \{25, 50\}}\).

Notăm cu R mulțimea din enunț și cu \({x}\) elementele sale.

• elementele lui R sunt numere naturale; în limbaj matematic, vom scrie \({x \in ℕ}\) (cu \({ℕ}\) notăm mulțimea numerelor naturale, simbolul \({\in}\) înseamnă „aparține”); citim „\({x}\) aparține lui N” sau „\({x}\) aparține mulțimii numerelor naturale”.
• divizorii lui 12 se scriu în limbaj matematic astfel: \({x \mid 12}\) (\({x}\) îl divide pe 12) sau \({12 \; \vdots \; x}\) (12 este divizibil cu \({x}\)).
• divizorii lui 25 se scriu în limbaj matematic astfel: \({x \mid 25}\) (\({x}\) îl divide pe 25) sau \({25 \; \vdots \; x}\) (25 este divizibil cu \({x}\)).
• acum punem laolaltă toate condițiile de mai sus și scriem mulțimea R astfel:

\({R= \{x \in ℕ \mid x \mid 12 \; \text{sau} \; x \mid 25\}}\)

sau \({R= \{x \in ℕ \mid 12 \; \vdots \; x \; \text{sau} \; 25 \; \vdots \; x\}}\).

• divizorii lui 12 sunt 1, 2, 3, 4, 6, 12.
• divizorii lui 25 sunt 1, 5, 25.

cuvântul „sau” înseamnă că elementele mulțimii R trebuie să îndeplinească cel puțin una dintre condiții date, adică să fie divizori ai lui 12 sau divizori ai lui 25; pentru aceasta, scriem divizorii comuni și necomuni ai lui 12 și ai lui 25, luați o singură dată.

rezultă că \({R= \{1,2,3,4,5,6,12,25\}}\).

Notăm cu Q mulțimea din enunț și cu \({x}\) elementele sale.

• elementele lui Q sunt numere naturale; în limbaj matematic, vom scrie \({x \in ℕ}\) (cu \({ℕ}\) notăm mulțimea numerelor naturale, simbolul \({\in}\) înseamnă „aparține”); citim „\({x}\) aparține lui N” sau „\({x}\) aparține mulțimii numerelor naturale”.
• divizorii lui 24 se scriu în limbaj matematic astfel: \({x \mid 24}\) (\({x}\) îl divide pe 24) sau \({24 \; \vdots \; x}\) (24 este divizibil cu \({x}\)).
• divizorii lui 16 se scriu în limbaj matematic astfel: \({x \mid 16}\) (\({x}\) îl divide pe 16) sau \({16 \; \vdots \; x}\) (16 este divizibil cu \({x}\)).
• acum punem laolaltă toate condițiile de mai sus și scriem mulțimea Q astfel:

\({Q= \{x \in ℕ \mid x \mid 24 \; \text{și} \; x \mid 16\}}\)

sau \({Q= \{x \in ℕ \mid 16 \; \vdots \; x \; \text{și} \; 26 \; \vdots \; x\}}\).

• divizorii lui 24 sunt 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
• divizorii lui 16 sunt 1, 2, 4, 8, 16.

cuvântul „și” înseamnă că elementele mulțimii Q trebuie să îndeplinească ambele condiții date, adică să fie divizori ai lui 24 și ai lui 16; pentru aceasta, scriem divizorii comuni ai lui 24 și ai lui 16, luați o singură dată.

rezultă că \({Q= \{1,2,4,8\}}\).