Exersează 3 - Ecuația de gradul 2 - descompunere în factori

folosim formula \({\textcolor{#1e90ff}{a}x^2+bx+c=\textcolor{#1e90ff}{a}(x-\textcolor{#fc4f05}{x_1})(x-\textcolor{#ce03f2}{x_2})}\):

\({2x^2+6x+4=2(x+1)(x+2)}\)

\({\textcolor{white}{2x^2+6x+4}= \textcolor{#1e90ff}{2}[x- \textcolor{#fc4f05}{(-1)}][x- \textcolor{#ce03f2}{(-2)}]}\)

\({x+1=x-(-1)}\) și \({x+2=x-(-2)}\) pentru că \({- \; \cdot \; -=+}\)

\({a=2}\)
cele două rădăcini ale ecuației sunt \({-1}\) și \({-2}\); le scriem în ordine crescătoare:
\({x_1=-2}\)
\({x_2=-1}\)
avem doi factori care-l conțin pe \({x}\), deci ecuația are două soluții; \({ \Delta > 0}\)

(două paranteze \({2x^2+6x+4=2\textcolor{red}{(x+1)(x+2)}}\))

dacă nu ni s-ar fi cerut să folosim formula \({ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)}\), am fi putut proceda astfel:

\({x+1=0}\), deci \({x=-1}\)
\({x+2=0}\), deci \({x=-2}\)
ecuația \({2x^2+6x+4=0}\) are soluțiile \({x_1=-2}\) și \({x_2=-1}\) (scrise în ordine crescătoare), deci \({ \Delta > 0}\)

folosim formula \({\textcolor{#1e90ff}{a}x^2+bx+c=\textcolor{#1e90ff}{a}(x-\textcolor{#fc4f05}{x_1})(x-\textcolor{#ce03f2}{x_2})}\):

\({3x^2+3x-18=3(x-2)(x+3)}\)

\({\textcolor{white}{3x^2+3x-18}= \textcolor{#1e90ff}{3}(x- \textcolor{#fc4f05}{2})[x- \textcolor{#ce03f2}{(-3)}]}\)

\({x+3=x-(-3)}\) pentru că \({- \; \cdot \; -=+}\)

\({a=3}\)
cele două rădăcini ale ecuației sunt \({2}\) și \({-3}\); le scriem în ordine crescătoare:
\({x_1=-3}\)
\({x_2=2}\)
avem doi factori care-l conțin pe \({x}\), deci ecuația are două soluții; \({ \Delta > 0}\)

(două paranteze \({3x^2+3x-18=3\textcolor{red}{(x-2)(x+3)}}\))

dacă nu ni s-ar fi cerut să folosim formula \({ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)}\), am fi putut proceda astfel:

\({x-2=0}\), deci \({x=2}\)
\({x+3=0}\), deci \({x=-3}\)
ecuația \({3x^2+3x-18=0}\) are soluțiile \({x_1=-3}\) și \({x_2=2}\) (scrise în ordine crescătoare), deci \({ \Delta > 0}\)

folosim formula \({\textcolor{#1e90ff}{a}x^2+bx+c=\textcolor{#1e90ff}{a}(x-\textcolor{#fc4f05}{x_1})(x-\textcolor{#ce03f2}{x_2})}\):

\({2x^2+8x+8=2(x+2)\textcolor{#33c901}{^2}}\)

\({\textcolor{white}{2x^2+8x+8}=2(x+2)(x+2)}\)

\({\textcolor{white}{2x^2+8x+8}= \textcolor{#1e90ff}{2}[x- \textcolor{#fc4f05}{(-2)}][x- \textcolor{#ce03f2}{(-2)}]}\)

faptul că paranteza este la pătrat ne spune că soluțiile ecuației sunt egale, deci \({ \Delta = 0}\)

\({x+2=x-(-2)}\) pentru că \({- \; \cdot \; -=+}\)

\({a=2}\)
rădăcinile ecuației sunt egale cu \({-2}\)
\({x_1=x_2=-2}\)

dacă nu ni s-ar fi cerut să folosim formula \({ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)}\), am fi putut proceda astfel:

\({x+2=0}\), deci \({x=-2}\)
ecuația \({2x^2+8x+8=0}\) are soluțiile \({x_1=x_2=-2}\), deci \({ \Delta = 0}\)

folosim formula \({\textcolor{#1e90ff}{a}x^2+bx+c=\textcolor{#1e90ff}{a}(x-\textcolor{#fc4f05}{x_1})(x-\textcolor{#ce03f2}{x_2})}\):

\({4x^2-4x-8=4(x+1)(x-2)}\)

\({\textcolor{white}{4x^2-4x-8}= \textcolor{#1e90ff}{4}[x- \textcolor{#fc4f05}{(-1)}](x- \textcolor{#ce03f2}{2})}\)

\({x+1=x-(-1)}\) pentru că \({- \; \cdot \; -=+}\)

\({a=4}\)
cele două rădăcini ale ecuației sunt \({-1}\) și \({2}\); le scriem în ordine descrescătoare:
\({x_1=2}\)
\({x_2=-1}\)
avem doi factori care-l conțin pe \({x}\), deci ecuația are două soluții; \({ \Delta > 0}\)

(două paranteze \({4x^2-4x-8=4\textcolor{red}{(x+1)(x-2)}}\))

dacă nu ni s-ar fi cerut să folosim formula \({ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)}\), am fi putut proceda astfel:

\({x+1=0}\), deci \({x=-1}\)
\({x-2=0}\), deci \({x=2}\)
ecuația \({4x^2-4x-8=0}\) are soluțiile \({x_1=2}\) și \({x_2=-1}\) (scrise în ordine descrescătoare), deci \({ \Delta > 0}\)

folosim formula \({\textcolor{#1e90ff}{a}x^2+bx+c=\textcolor{#1e90ff}{a}(x-\textcolor{#fc4f05}{x_1})(x-\textcolor{#ce03f2}{x_2})}\):

\({2x^2-11x+12=(\textcolor{#1e90ff}{2}x-3)(x-4)}\)

★ în prima paranteză \({x}\) are coeficientul \({\textcolor{#1e90ff}{2}}\), deci nu putem aplica direct formula de mai sus; în această paranteză îl dăm factor comun pe \({\textcolor{#1e90ff}{2}}\)

★ obținem \({2x^2-11x+12=\textcolor{#1e90ff}{2}(x-\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle \textcolor{#1e90ff}{2}})(x-4)}\); acum putem aplica direct formula de mai sus

\({\textcolor{#1e90ff}{a=2}}\)
cele două rădăcini ale ecuației sunt \({\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 2}}\) și \({4}\); le scriem în ordine descrescătoare:
\({x_1=4}\)
\({x_2=\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 2}}\)
avem doi factori care-l conțin pe \({x}\), deci \({ \Delta > 0}\)

(două paranteze \({2x^2-11x+12=2\textcolor{red}{(x-\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 2})(x-4)}}\))

dacă nu ni s-ar fi cerut să folosim formula \({ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)}\), am fi putut proceda astfel:

\({2x-3=0}\), deci \({2x=3}\), adică \({x=\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 2}}\)
\({x-4=0}\), deci \({x=4}\)
ecuația \({2x^2-11x+12=0}\) are soluțiile \({x_1=4}\) și \({x_2=\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 2}}\) (scrise în ordine descrescătoare), deci \({ \Delta > 0}\)

folosim formula \({\textcolor{#1e90ff}{a}x^2+bx+c=\textcolor{#1e90ff}{a}(x-\textcolor{#fc4f05}{x_1})(x-\textcolor{#ce03f2}{x_2})}\):

\({3x^2+7x+4=(x+1)(\textcolor{#1e90ff}{3}x+4)}\)

★ în a doua paranteză \({x}\) are coeficientul \textcolor{#1e90ff}{3}, deci nu putem aplica direct formula de mai sus; în această paranteză îl dăm factor comun pe \textcolor{#1e90ff}{3}

★ obținem \({3x^2+7x+4=\textcolor{#1e90ff}{3}(x+1)(x+\frac{\displaystyle 4}{\displaystyle \textcolor{#1e90ff}{3}})}\); acum putem aplica direct formula de mai sus

\({\textcolor{#1e90ff}{a=3}}\)
\({x+1=x-(-1)}\)
\({x+\frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 3}=x-(-\frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 3})}\)

pentru că \({- \; \cdot \; -=+}\)

\({3x^2+7x+4=\textcolor{#1e90ff}{3}[x-\textcolor{#fc4f05}{(-1)}][x-\textcolor{#ce03f2}{(-\frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 3})}]}\)
cele două rădăcini ale ecuației sunt \({-1}\) și \({-\frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 3}}\); le scriem în ordine descrescătoare:
\({x_1=-1}\)
\({x_2=-\frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 3}}\)
avem doi factori care-l conțin pe \({x}\), deci \({ \Delta > 0}\)

(două paranteze \({3x^2+7x+4=3\textcolor{red}{(x+1)(x+\frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 3})}}\))

dacă nu ni s-ar fi cerut să folosim formula \({ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)}\), am fi putut proceda astfel:

\({x+1=0}\), deci \({x=-1}\)
\({3x+4=0}\), deci \({3x=-4}\), adică \({x=-\frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 3}}\)
ecuația \({3x^2+7x+4=0}\) are soluțiile \({x_1=-1}\) și \({x_2=-\frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 3}}\) (scrise în ordine descrescătoare), deci \({ \Delta > 0}\)

folosim formula \({\textcolor{#1e90ff}{a}x^2+bx+c=\textcolor{#1e90ff}{a}(x-\textcolor{#fc4f05}{x_1})(x-\textcolor{#ce03f2}{x_2})}\):

\({6x^2-x-2=(\textcolor{#1e90ff}{2}x+1)(\textcolor{#1e90ff}{3}x-2)}\)

★ pentru a putea aplica formula de mai sus, în ambele paranteze trebuie ca \({x}\) să aibă coeficientul 1

★ în prima paranteză \({x}\) are coeficientul \({\textcolor{#1e90ff}{2}}\); în această paranteză îl dăm factor comun pe \({\textcolor{#1e90ff}{2}}\)

★ în a doua paranteză \({x}\) are coeficientul \({\textcolor{#1e90ff}{3}}\); în această paranteză îl dăm factor comun pe \({\textcolor{#1e90ff}{3}}\)

★ obținem \({6x^2-x-2=\textcolor{#1e90ff}{2} \cdot \textcolor{#1e90ff}{3} \cdot (x+\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \textcolor{#1e90ff}{2}})(x-\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle \textcolor{#1e90ff}{3}})}\)

★ \({6x^2-x-2=\textcolor{#1e90ff}{6}(x+\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2})(x-\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 3})}\); acum putem aplica direct formula de mai sus

\({\textcolor{#1e90ff}{a=6}}\)
\({x+\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}=x-(-\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2})}\)

pentru că \({- \; \cdot \; -=+}\)

\({6x^2-x-2=\textcolor{#1e90ff}{6}[x-\textcolor{#fc4f05}{(-\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2})}](x-\textcolor{#ce03f2}{\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}})}\)
cele două rădăcini ale ecuației sunt \({-\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}}\) și \({\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}}\); le scriem în ordine descrescătoare:
\({x_1=\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}}\)
\({x_2=-\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}}\)
avem doi factori care-l conțin pe \({x}\), deci \({ \Delta > 0}\)

(două paranteze \({6x^2-x-2=6\textcolor{red}{(x+\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2})(x-\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 3})}}\))

dacă nu ni s-ar fi cerut să folosim formula \({ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)}\), am fi putut proceda astfel:

\({2x+1=0}\), deci \({2x=-1}\), adică \({x=-\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}}\)
\({3x-2=0}\), deci \({3x=2}\), adică \({x=\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}}\)
ecuația \({6x^2-x-2=0}\) are soluțiile \({x_1=\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}}\) și \({x_2=-\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}}\) (scrise în ordine descrescătoare), deci \({ \Delta > 0}\)

folosim formula \({\textcolor{#1e90ff}{a}x^2+bx+c=\textcolor{#1e90ff}{a}(x-\textcolor{#fc4f05}{x_1})(x-\textcolor{#ce03f2}{x_2})}\):

\({4x^2+8x+3=(\textcolor{#1e90ff}{2}x+3)(\textcolor{#1e90ff}{2}x+1)}\)

★ pentru a putea aplica formula de mai sus, în ambele paranteze trebuie ca \({x}\) să aibă coeficientul 1

★ în prima paranteză \({x}\) are coeficientul \({\textcolor{#1e90ff}{2}}\); în această paranteză îl dăm factor comun pe \({\textcolor{#1e90ff}{2}}\)

★ în a doua paranteză \({x}\) are coeficientul \({\textcolor{#1e90ff}{2}}\); în această paranteză îl dăm factor comun pe \({\textcolor{#1e90ff}{2}}\)

★ obținem \({4x^2+8x+3=\textcolor{#1e90ff}{2} \cdot \textcolor{#1e90ff}{2} \cdot (x+\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle \textcolor{#1e90ff}{2}})(x+\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \textcolor{#1e90ff}{2}})}\)

★ \({4x^2+8x+3=\textcolor{#1e90ff}{2}(x+\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 2})(x+\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2})}\); acum putem aplica direct formula de mai sus

\({\textcolor{#1e90ff}{a=4}}\)
\({x+\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 2}=x-(-\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 2})}\)
\({x+\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}=x-(-\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2})}\)

pentru că \({- \; \cdot \; -=+}\)

\({4x^2+8x+3=\textcolor{#1e90ff}{4}[x-\textcolor{#fc4f05}{(-\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 2})}][x-\textcolor{#ce03f2}{(-\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2})}]}\)
cele două rădăcini ale ecuației sunt \({-\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 2}}\) și \({-\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}}\); le scriem în ordine crescătoare:
\({x_1=-\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 2}}\)

\({x_2=-\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}}\)
avem doi factori care-l conțin pe \({x}\), deci \({ \Delta > 0}\)

(două paranteze \({4x^2+8x+3=4\textcolor{red}{(x+\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 2})(x+\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2})}}\))

dacă nu ni s-ar fi cerut să folosim formula \({ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)}\), am fi putut proceda astfel:

\({2x+3=0}\), deci \({2x=-3}\), adică \({x=-\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 2}}\)

\({2x+1=0}\), deci \({2x=-1}\), adică \({x=-\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}}\)
ecuația \({4x^2+8x+3=0}\) are soluțiile \({x_1=-\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 2}}\) și \({x_2=-\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}}\) (scrise în ordine crescătoare), deci \({ \Delta > 0}\)

folosim formula \({\textcolor{#1e90ff}{a}x^2+bx+c=\textcolor{#1e90ff}{a}(x-\textcolor{#fc4f05}{x_1})(x-\textcolor{#ce03f2}{x_2})}\):

\({6x^2-17x+5=(\textcolor{#1e90ff}{3}x-1)(\textcolor{#1e90ff}{2}x-5)}\)

★ pentru a putea aplica formula de mai sus, în ambele paranteze trebuie ca \({x}\) să aibă coeficientul 1

★ în prima paranteză \({x}\) are coeficientul \({\textcolor{#1e90ff}{3}}\); în această paranteză îl dăm factor comun pe \({\textcolor{#1e90ff}{3}}\)

★ în a doua paranteză \({x}\) are coeficientul \({\textcolor{#1e90ff}{2}}\); în această paranteză îl dăm factor comun pe \({\textcolor{#1e90ff}{2}}\)

★ obținem \({6x^2-17x+5=\textcolor{#1e90ff}{3} \cdot \textcolor{#1e90ff}{2} \cdot (x-\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \textcolor{#1e90ff}{3}})(x-\frac{\displaystyle 5}{\displaystyle \textcolor{#1e90ff}{2}})}\)

★ \({6x^2-17x+5=\textcolor{#1e90ff}{6}(x-\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3})(x-\frac{\displaystyle 5}{\displaystyle 2})}\); acum putem aplica direct formula de mai sus

\({\textcolor{#1e90ff}{a=6}}\)
cele două rădăcini ale ecuației sunt \({\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3}}\) și \({\frac{\displaystyle 5}{\displaystyle 2}}\); le scriem în ordine descrescătoare:
\({x_1=\frac{\displaystyle 5}{\displaystyle 2}}\)

\({x_2=\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3}}\)
avem doi factori care-l conțin pe \({x}\), deci \({ \Delta > 0}\)

(două paranteze \({6x^2-17x+5=6\textcolor{red}{(x-\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3})(x-\frac{\displaystyle 5}{\displaystyle 2})}}\))

dacă nu ni s-ar fi cerut să folosim formula \({ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)}\), am fi putut proceda astfel:

\({3x-1=0}\), deci \({3x=1}\), adică \({x=\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3}}\)

\({2x-5=0}\), deci \({2x=5}\), adică \({x=\frac{\displaystyle 5}{\displaystyle 2}}\)
ecuația \({6x^2-17x+5=0}\) are soluțiile \({x_1=\frac{\displaystyle 5}{\displaystyle 2}}\) și \({x_2=\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3}}\) (scrise în ordine descrescătoare), deci \({ \Delta > 0}\)

Memorator Algebră

clasele 5 - 8