Avem mai multe variante de perechi de numere de tipul celor din enunț. Pentru a găsi aceste variante, vom considera toate numerele prime mai mici sau egale cu 31. Acestea sunt: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31. Pentru fiecare dintre aceste numere prime, calculăm numărul natural corespunzător, astfel încât suma lor să fie 31.

• ce număr, adunat cu 2, ne dă 31?



\({2+x=31}\)

\({x=31-2}\)

\({x=29}\)

Suma numerelor 2 și 29 este 31 (observăm că ambele sunt prime; era suficient să fie unul singur număr prim).

• ce număr, adunat cu 3, ne dă 31?



\({3+x=31}\)

\({x=31-3}\)

\({x=28}\)

Suma numerelor 3 și 28 este 31. Numărul 3 este prim, iar 28 este natural.

• ce număr, adunat cu 5, ne dă 31?



\({5+x=31}\)

\({x=31-5}\)

\({x=26}\)

Suma numerelor 5 și 26 este 31. Numărul 5 este prim, iar 26 este natural.

• ce număr, adunat cu 7, ne dă 31?



\({7+x=31}\)

\({x=31-7}\)

\({x=24}\)

Suma numerelor 7 și 24 este 31. Numărul 7 este prim, iar 24 este natural.

• ce număr, adunat cu 11, ne dă 31?



\({11+x=31}\)

\({x=31-11}\)

\({x=20}\)

Suma numerelor 11 și 20 este 31. Numărul 11 este prim, iar 20 este natural.

• ce număr, adunat cu 13, ne dă 31?



\({13+x=31}\)

\({x=31-13}\)

\({x=18}\)

Suma numerelor 13 și 18 este 31. Numărul 13 este prim, iar 18 este natural.

• ce număr, adunat cu 17, ne dă 31?



\({17+x=31}\)

\({x=31-17}\)

\({x=14}\)

Suma numerelor 17 și 14 este 31. Numărul 17 este prim, iar 14 este natural.

• ce număr, adunat cu 19, ne dă 31?



\({19+x=31}\)

\({x=31-19}\)

\({x=12}\)

Suma numerelor 19 și 12 este 31. Numărul 19 este prim, iar 12 este natural.

• ce număr, adunat cu 23, ne dă 31?



\({23+x=31}\)

\({x=31-23}\)

\({x=8}\)

Suma numerelor 23 și 8 este 31. Numărul 23 este prim, iar 8 este natural.

• ce număr, adunat cu 29, ne dă 31?



\({29+x=31}\)

\({x=31-29}\)

\({x=2}\)

Suma numerelor 29 și 2 este 31. Am găsit deja această pereche de numere.

• ce număr, adunat cu 31, ne dă 31?



\({31+x=31}\)

\({x=31-31}\)

\({x=0}\)

Suma numerelor 31 și 0 este 31. Numărul 31 este prim, iar 0 este natural.

Am obținut perechile de numere \({(2,29)}\), \({(3,28)}\), \({(5, 26)}\), \({(7, 24)}\), \({(11, 20)}\), \({(13,18)}\), \({(17, 14)}\), \({(19, 12)}\), \({(23, 8)}\), \({(31, 0)}\).

Observăm că numărul 129 este număr impar. Dacă suma a două numere naturale este un număr impar, rezultă că un termen al sumei este par, iar celălalt este impar.

Știm că cele două numere căutate sunt prime, iar unul dintre ele este număr par. Singurul număr care este și prim, și par este 2. Rezultă că unul dintre numerele căutate este 2.

Calculăm celălalt număr. Ce număr, adunat cu 2, ne dă 129?

\({2+x=129}\)

\({x=129-2}\)

\({x=127}\)

Cercetăm dacă numărul 127 este prim.

• 127 nu se împarte exact la 2 pentru că este număr impar;


• 127 nu se împarte exact la 3 pentru că suma cifrelor sale nu se împarte exact la 3;


• 127 nu se împarte exact la 5 pentru că are cifra unităților diferită de 0 sau 5;


• să vedem dacă 127 se împarte exact la 7; efectuăm împărțirea:



\({127 : 7 = 18 \; \text{rest} \; 1}\) câtul 18 este mai mare decât împărțitorul 7, deci continuăm să cercetăm.

• să vedem dacă 127 se împarte exact la 11; efectuăm împărțirea:



\({127 : 11 = 11 \; \text{rest} \; 6}\) câtul este egal cu împărțitorul, deci numărul 127 este prim.

Numerele căutate sunt 2 și 127. Ambele sunt numere prime, iar suma lor este 129.

Observăm că numărul 165 este număr impar. Dacă suma a două numere naturale este un număr impar, rezultă că un termen al sumei este par, iar celălalt este impar.

Știm că cele două numere căutate sunt prime, iar unul dintre ele este număr par. Singurul număr care este și prim, și par este 2. Rezultă că unul dintre numerele căutate este 2.

Calculăm celălalt număr. Ce număr, adunat cu 2, ne dă 165?

\({2+x=165}\)

\({x=165-2}\)

\({x=163}\)

Cercetăm dacă numărul 163 este prim.

• 163 nu se împarte exact la 2 pentru că este număr impar;


• 163 nu se împarte exact la 3 pentru că suma cifrelor sale nu se împarte exact la 3;


• 163 nu se împarte exact la 5 pentru că are cifra unităților diferită de 0 sau 5;


• să vedem dacă 163 se împarte exact la 7; efectuăm împărțirea:



\({163 : 7 = 23 \; \text{rest} \; 3}\) câtul 23 este mai mare decât împărțitorul 7, deci continuăm să cercetăm.

• să vedem dacă 163 se împarte exact la 11; efectuăm împărțirea:



\({163 : 11 = 14 \; \text{rest} \; 5}\) câtul 14 este mai mare decât împărțitorul 11, deci continuăm să cercetăm.

• să vedem dacă 163 se împarte exact la 13; efectuăm împărțirea:



\({163 : 13 = 12 \; \text{rest} \; 7}\) câtul 12 este mai mai mic decât împărțitorul 13, deci numărul 163 este prim.

Numerele căutate sunt 2 și 163. Ambele sunt numere prime, iar suma lor este 165.

Calculăm produsul:

\({2 \cdot 163 = 326}\)

Produsul numerelor 2 și 163 este 326.

Observăm că numărul 166 este par, deci se împarte exact la 2. Efectuăm împărțirea, să vedem dacă obținem un număr prim:

\({166 : 2 = 83}\)

Cercetăm dacă numărul 83 este prim. Ne putem aminti din rezolvările anterioare sau putem să efectuăm calculele.

• 83 nu se împarte exact la 2 pentru că este număr impar;


• 83 nu se împarte exact la 3 pentru că suma cifrelor sale nu se împarte exact la 3;


• 83 nu se împarte exact la 5 pentru că are cifra unităților diferită de 0 sau 5;


• să vedem dacă 83 se împarte exact la 7; efectuăm împărțirea:



\({83 : 7 = 11 \; \text{rest} \; 6}\) câtul 11 este mai mare decât împărțitorul 7, deci continuăm să cercetăm.

• 83 nu se împarte exact la 11; efectuăm împărțirea și comparăm câtul cu împărțitorul:



\({83 : 11 = 7 \; \text{rest} \; 6}\) câtul 7 este mai mic decât împărțitorul 11, deci 83 este număr prim.

Numărul 83 este prim, deci cele două numere pe care le căutăm sunt 2 și 83. Ambele sunt prime, iar produsul lor este 166.

Observăm că numărul 95 este număr impar. Dacă diferența a două numere naturale este un număr impar, rezultă că un termen al diferenței este par, iar celălalt este impar.

Știm că cele două numere căutate sunt prime, iar unul dintre ele este număr par. Singurul număr care este și prim, și par este 2. Rezultă că unul dintre numerele căutate este 2. Acesta este scăzătorul, adică numărul cel mic, cel care se scade (pentru că 2 este cel mai mic număr prim).

Calculăm celălalt număr. Ce număr, minus 2, ne dă 95?

\({x-2=95}\)

\({x=95+2}\)

\({x=97}\)

Cercetăm dacă numărul 97 este prim. Ne putem aminti din rezolvările anterioare sau putem efectua calculele.

• 97 nu se împarte exact la 2 pentru că este număr impar;


• 97 nu se împarte exact la 3 pentru că suma cifrelor sale nu se împarte exact la 3;


• 97 nu se împarte exact la 5 pentru că are cifra unităților diferită de 0 sau 5;


• să vedem dacă 97 se împarte exact la 7; efectuăm împărțirea:



\({97 : 7 = 13 \; \text{rest} \; 6}\) câtul 13 este mai mare decât împărțitorul 7, deci continuăm să cercetăm.

• 97 nu se împarte exact la 11; efectuăm împărțirea și comparăm câtul cu împărțitorul:



\({97 : 11 = 8 \; \text{rest} \; 9}\) câtul 8 este mai mic decât împărțitorul 11, deci 97 este număr prim.

Numerele căutate sunt 2 și 97. Ambele sunt numere prime, iar diferența lor este 95.

Observăm că numărul 106 este par. Dacă suma a două numere naturale este un număr par, rezultă că ambii termeni ai sumei sunt numere pare sau ambii termeni ai sumei sunt numere impare.

În enunț se spune că unul dintre termenii sumei este număr par. Înseamnă că este valabil primul caz, adică ambii termeni ai sumei sunt numere pare.

Ce număr prim este și număr par? Singurul astfel de număr este 2. Rezultă că unul dintre termenii sumei este 2.

Calculăm celălalt număr. Ce număr, adunat cu 2, ne dă 106?

\({2+x=106}\)

\({x=106-2}\)

\({x=104}\)

Numerele căutate sunt 2 și 104; 2 este prim (și par, dar nu contează), 104 este par, iar suma lor este 106.

Observăm că numărul 209 este impar. Dacă suma a două numere naturale este un număr impar, rezultă că un termen al sumei este impar, iar celălalt este par.

În enunț se spune că unul dintre termenii sumei este număr impar. Înseamnă că numărul prim trebuie să fie și număr par.

Ce număr prim este și număr par? Singurul astfel de număr este 2. Rezultă că unul dintre termenii sumei este 2.

Calculăm celălalt număr. Ce număr, adunat cu 2, ne dă 209?

\({2+x=209}\)

\({x=209-2}\)

\({x=207}\)

Numerele căutate sunt 2 și 207; 2 este prim, 207 este impar, iar suma lor este 209.

Întrebare bonus! Numărul 207 este prim sau compus?

Numărul 207 este compus pentru că se împarte exact la 3; suma cifrelor sale este 9, iar 9 este divizibil cu 3.

Ne ocupăm mai întâi de numerele 15 și 25, pentru că ambele sunt impare. Dacă o sumă este număr impar, înseamnă că unul dintre termenii ei este număr par, iar celălalt este număr impar.

În enunț se spune că ambii membri ai sumei sunt numere prime. Ce număr este și par, și prim? Singurul astfel de număr este 2. Rezultă că unul dintre termenii celor două sume este 2.

Ce număr, adunat cu 2, ne dă 15?

• \({x+2=15}\)


• \({x=15-2}\)


• \({x=13}\) este număr prim

Îl scriem pe 15 ca suma numerelor prime 2 și 13.

\({15=2+13}\)

Ce număr, adunat cu 2, ne dă 25?

• \({x+2=25}\)


• \({x=25-2}\)


• \({x=23}\) este număr prim

Îl scriem pe 25 ca suma numerelor prime 2 și 23.

\({25=2+23}\)

Ne ocupăm acum de numerele 18, 42 și 92, pentru că toate sunt pare. Dacă o sumă este număr par, înseamnă că ambii ei membri sunt numere pare sau ambii ei membri sunt numere impare.

Cazul în care ambii membri ai sumei sunt numere pare nu este valid, pentru că există un singur număr par și prim (numărul 2; adunat cu el însuși, ne dă 4; noi trebuie să obținem 18 sau 42 sau 92).

Cercetăm cazul în care ambii membri ai sumei sunt numere impare.

Îl scriem pe 18 ca sumă de două numere prime impare. Considerăm pe rând numerele prime impare mai mici decât 18 (3, 5, 7, 11, 13, 17):

• ce număr, adunat cu 3, ne dă 18?



\({x+3=18}\)

\({x=18-3}\)




\({x=15}\) nu este număr prim, deci nu e o variantă bună



• ce număr, adunat cu 5, ne dă 18?



\({x+5=18}\)

\({x=18-5}\)




\({x=13}\) este număr prim



• Îl scriem pe 18 ca suma numerelor prime 5 și 13.



\({18=5+13}\)

Îl scriem pe 42 ca sumă de două numere prime impare. Considerăm pe rând numerele prime impare mai mici decât 42 (3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41):

• ce număr, adunat cu 3, ne dă 42?



\({x+3=42}\)

\({x=42-3}\)




\({x=39}\) nu este număr prim, deci nu e o variantă bună



• ce număr, adunat cu 5, ne dă 42?



\({x+5=42}\)

\({x=42-5}\)




\({x=37}\) este număr prim




Ne amintim din exercițiile anterioare că 37 este număr prim (sau verificăm Ciurul lui Eratostene - tabelul cu numerele prime mai mici decât 100). Dacă nu ne amintim, putem să-l verificăm prin împărțiri succesive la numerele prime mai mici decât el sau folosind criterille de divizibilitate. Numărul 37 este impar, deci nu divizibil cu 2; nu este divizibil cu 3 pentru că suma cifrelor sale este 10 și nu se împarte exact la 3; nu este divizibil cu 5 pentru cifra unităților nu este 0 sau 5; nu se împarte exact nici la celelalte numere prime mai mici decât el: 11, 13, 19, 23, 29, 31. Rezultă că este număr prim.



• Îl scriem pe 42 ca suma numerelor prime 5 și 37.



\({42=5+37}\)

Îl scriem pe 92 ca sumă de două numere prime impare. Considerăm pe rând numerele prime impare mai mici decât 42 (3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41 etc.):

• ce număr, adunat cu 3, ne dă 92?



\({x+3=92}\)

\({x=92-3}\)




\({x=89}\) este număr prim




Ne amintim din exercițiile anterioare că 89 este număr prim (sau verificăm Ciurul lui Eratostene - tabelul cu numerele prime mai mici decât 100). Dacă nu ne amintim, putem să-l verificăm prin împărțiri succesive la numerele prime mai mici decât el sau folosind criterille de divizibilitate. Numărul 89 este impar, deci nu divizibil cu 2; nu este divizibil cu 3 pentru că suma cifrelor sale este 17 și nu se împarte exact la 3; nu este divizibil cu 5 pentru cifra unităților nu este 0 sau 5.

• îl împărțim pe 89 la 7 și obținem cătul 12 și restul 5; câtul e mai mare decât împărțitorul, deci continuăm cercetarea;



\({89 : 7 = 12 \; \text{rest} \; 5}\) câtul 12 este mai mare decât împărțitorul 7, deci continuăm împărțirile.

• îl împărțim pe 89 la 11 și obținem cătul 8 și restul 1; câtul e mai mic decât împărțitorul, deci 89 este număr prim.



\({89 : 11 = 8 \; \text{rest} \; 1}\) câtul 8 este mai mic decât împărțitorul 11, deci 89 este număr prim.



• Îl scriem pe 92 ca suma numerelor prime 3 și 89.



\({92=3+89}\)

Grupăm subpunctele în funcție de modul de rezolvare.

● La subpunctele a) și b), suma a două numere prime este un număr impar.

Dacă suma a două numere este număr impar, înseamnă că un termen al ei este par, iar celălalt termen este impar. Cum singurul număr par și prim este 2, rezultă că unul dintre termenii sumelor de la subpunctele a) și b) este 2.

a) 2 \({+ }\) 3 \({=5 }\)

• ce număr, adunat cu 2, ne dă 5?


• din 5 scădem 2 și calculăm numărul care lipsește:



\({5-2=3 }\)



• 2 \({+ }\) 3 \({=5 }\)


• 2 și 3 sunt numere prime.

b) 2 \({+ }\) 5 \({=7 }\)

• ce număr, adunat cu 2, ne dă 7?


• din 7 scădem 2 și calculăm numărul care lipsește:



\({7-2=5 }\)



• 2 \({+ }\) 5 \({=7 }\)


• 2 și 5 sunt numere prime.

● La subpunctul d), diferența două numere prime este un număr impar.

Dacă diferența a două numere este număr impar, înseamnă că un termen al ei este par, iar celălalt termen este impar. Cum singurul număr par și prim este 2, rezultă că unul dintre termenii diferenței de la subpunctul d) este 2. Cum 2 este cel mai mic număr prim, rezultă că scăzătorul este egal cu 2.

d) 33 \({- }\) 23 \({=65 }\)

• din ce număr scădem 2 și obținem 65?


• la 65 adunăm 2 și calculăm numărul care lipsește:



\({65+2=67 }\)



• 67 \({- }\) 23 \({=65 }\)


• 67 și 2 sunt numere prime.

● La subpunctul f), produsul două numere prime este un număr par.

Dacă produsul a două numere este număr par, înseamnă că unul dintre numere este 2. Calculăm cel de-al doilea număr.

f) 2 \({\cdot}\) 5 \({=22 }\)

• ce număr înmulțit cu 2 ne dă 22?


• pe 22 îl împărțim la 2 și calculăm numărul care lipsește:



\({22 : 2=11 }\)



• 2 \({\cdot}\) 11 \({=22 }\)


• 2 și 11 sunt numere prime.

● La subpunctul g), observăm că 121 este pătrat perfect.

\({121=11^2=11 \cdot 11 }\)

g) 11 \({\cdot}\) 11 \({=121 }\)

• numărul 11 este prim.

● Pentru a rezolva celelalte subpuncte vom folosi încercările succesive. În locul unuia dintre termeni vom considera pe rând numerele prime în ordine crescătoare și vom calcula celălalt termen. Dacă obținem un număr prim, ne oprim și completăm casetele cu perechea de numere găsite.

c) 5 \({+}\) 7 \({=12 }\)

• începem cu cel mai mic număr prim. Considerăm că unul dintre termeni este 2. Ce număr, adunat cu 2, ne dă 12?



\({12 - 2=10 }\) nu este număr prim



• continuăm cu următorul număr prim. Considerăm că unul dintre termeni este 3. Ce număr, adunat cu 3, ne dă 12?



\({12 - 3=9 }\) nu este număr prim



• continuăm cu următorul număr prim. Considerăm că unul dintre termeni este 5. Ce număr, adunat cu 5, ne dă 12?



\({12 - 5=7 }\) este număr prim



• am găsit că numerele prime a căror sumă este 12 sunt 5 și 7;


• 5 \({+}\) 7 \({=12 }\)

e) T1 \({+}\) T2 \({=18 }\)

• începem cu cel mai mic număr prim. Considerăm că unul dintre termeni este 2. Ce număr, adunat cu 2, ne dă 18?



\({18 - 2=16 }\) nu este număr prim



• continuăm cu următorul număr prim. Considerăm că unul dintre termeni este 3. Ce număr, adunat cu 3, ne dă 18?



\({18 - 3=15 }\) nu este număr prim



• continuăm cu următorul număr prim. Considerăm că unul dintre termeni este 5. Ce număr, adunat cu 5, ne dă 18?



\({18 - 5=13 }\) este număr prim



• am găsit că numerele prime a căror sumă este 18 sunt 5 și 13;


• 5 \({+}\) 13 \({=18 }\)


• altă variantă: 7 \({+}\) 11 \({=18 }\)

h) T1 \({-}\) T2 \({=28 }\)

• începem cu cel mai mic număr prim. Considerăm că unul dintre termeni este 2. Fiind cel mai mic număr prim, poate fi doar scăzătorul în relația noastră. Din ce număr scădem 2 și obținem 28?



T1 \({-}\) 2 \({=28 }\) - Nu corespunde

\({28 + 2=30 }\) nu este număr prim



• continuăm cu următorul număr prim. Considerăm că unul dintre termeni este 3. Fiind un număr mic, poate fi doar scăzătorul în relația noastră. Din ce număr scădem 3 și obținem 28?



T1 \({-}\) 3 \({=28 }\) - Corespunde

\({28 + 3=31 }\) este număr prim



• am găsit că diferența numerelor prime 31 și 3 este 28;


• 31 \({-}\) 3 \({=28 }\)

i) T1 \({\cdot}\) T2 \({=91 }\)

• deoarece rezultatul înmulțirii este un număr impar, niciunul dintre factori nu poate fi 2;


• continuăm cu următorul număr prim. Considerăm că unul dintre factorii produsului este 3. Ce număr înmulțit cu 3 ne dă 91? Pentru a afla numărul, facem operația inversă înmulțirii, adică împărțim.



suma cifrelor lui 91 este 10 și nu se împarte exact la 3, rezultă că 91 nu se împarte exact la 3;



• continuăm cu următorul număr prim. Considerăm că unul dintre factorii produsului este 5. Ce număr înmulțit cu 5 ne dă 91? Pentru a afla numărul, facem operația inversă înmulțirii, adică împărțim.



ultima cifră a lui 91 este 1, deci 91 nu se împarte exact la 5;



• continuăm cu următorul număr prim. Considerăm că unul dintre factorii produsului este 7. Ce număr înmulțit cu 7 ne dă 91? Pentru a afla numărul, facem operația inversă înmulțirii, adică împărțim.



\({91: 7=23 }\) este număr prim



• am găsit că produsul numerelor prime 7 și 23 este 91;


• 7 \({\cdot}\) 23 \({=91 }\)