Memorator Algebră

clasele 5 - 8














Funcția de gradul 1


Definiție


Funcția \({f:\mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}}\), \({f(x) = ax + b}\) (cu \({a}\), \({b}\) numere reale și \({a \neq 0 }\)) se numește funcție de gradul 1 (observăm că cel mai mare exponent al necunoscutei este 1).

  • dacă \({a = 0}\), atunci obținem funcția constantă \({f:\mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}}\), \({f(x) = b}\)

Restricțiile funcției

Fie funcția \({f:\textcolor{orangered}{\mathbf{R}} \rightarrow \mathbf{R}}\), \({f(x) = ax + b}\) .

  • funcția \({g : \textcolor{orangered}{(c, d]} \rightarrow \mathbf{R}}\), \({g(x) = ax + b}\) se numește restricția lui \({f}\) la intervalul \({(c, d]}\) (\({f}\) și \({g}\) au aceeași lege de corespondență \({y = ax + b}\))
  • funcția \({h : \textcolor{orangered}{(c, +\infty)} \rightarrow \mathbf{R}}\), \({h(x) = ax + b}\) se numește restricția lui \({f}\) la intervalul \({(c, +\infty)}\) (\({f}\) și \({h}\) au aceeași lege de corespondență \({y = ax + b}\))
  • în locul intervalului \({(c, d]}\), putem considera orice alt interval mărginit \({[c, d)}\), \({(c, d)}\) sau \({[c, d]}\)
  • în locul intervalului \({(c, +\infty)}\), putem considera orice alt interval nemărginit \({[c, +\infty)}\), \({(-\infty, c)}\) sau \({(-\infty, c]}\)




Graficul funcției de gradul 1


Graficul funcției depinde de domeniul de definiție. Astfel:

  • dacă funcția este definită pe \({\mathbf{R}}\), atunci graficul este o dreaptă
  • dacă funcția este definită pe un interval mărginit la ambele capete, atunci graficul este un segment
    • adică domeniul de definiție e de forma \({(a, b)}\) sau \({[a, b]}\) sau \({[a, b)}\) sau \({(a, b]}\)

  • dacă funcția este definită pe un interval nemărginit, atunci graficul este o semidreaptă
    • adică domeniul de definiție e de forma \({(a, + \infty)}\) sau \({[a, + \infty)}\) sau \({(- \infty, a)}\) sau \({(- \infty, a]}\)

  • dacă funcția este definită pe o mulțime finită sau pe o mulțime specială (\({\mathbf{N}}\), \({\mathbf{Z}}\), \({\mathbf{Q}}\)), atunci graficul este o mulțime de puncte
    • adică domeniul de definiție e de forma \({D = \{x, y, ..., z \}}\) sau \({D = \mathbf{N}}\) sau \({D = \mathbf{Z}}\) sau \({D = \mathbf{Q}}\)





Graficul funcției \({f:\textcolor{orangered}{\mathbf{R}} \rightarrow \mathbf{R}}\), \({f(x) = ax + b}\) graficul este o dreaptă

Pentru a desena o dreaptă, avem nevoie de două puncte care-i aparțin.


Varianta 1 - intersecțiile graficului cu axele de coordonate

  • intersecția cu axa Ox (adică \({y = 0}\))

  • \({f(x) = 0 \Longleftrightarrow ax + b = 0 \Longleftrightarrow x = - \frac{\displaystyle b}{\displaystyle a}}\)

    Obținem punctul \({A(- \frac{\displaystyle b}{\displaystyle a}, 0)}\) pe axa Ox

  • intersecția cu axa Oy (adică \({x = 0}\))

  • \({x = 0 \Longleftrightarrow a \cdot 0 + b = y \Longleftrightarrow y = b}\)

    Obținem punctul \({B(0, b)}\) pe axa Oy

  • reprezentăm punctele \({A}\) și \({B}\) în sistemul de axe \({xOy}\)
  • desenăm dreapta \({d}\) care trece prin punctele \({A}\) și \({B}\); această dreaptă este graficul funcției \({f}\)
  • dreapta \({d}\) este de ecuație \({y = ax + b}\)

  • Exemplu

  • Să desenăm graficul funcției \({f:\textcolor{orangered}{\mathbf{R}} \rightarrow \mathbf{R}}\), \({f(x) = 2x + 4}\)

  • intersecția cu axa Ox

  • \({f(x) = 0 \Longleftrightarrow 2x + 4 = 0 \Longleftrightarrow 2x = -4 \Longleftrightarrow x = -2}\)

    Obținem punctul \({A(-2, 0)}\) pe axa Ox

  • intersecția cu axa Oy

  • \({x = 0 \Longleftrightarrow 2 \cdot 0 + 4 = y \Longleftrightarrow y = 4}\)

    Obținem punctul \({B(0, 4)}\) pe axa Oy

  • desenăm punctele \({A(-2, 0)}\) și \({B(0, 4)}\) într-un sistem de axe de coordonate

  • desenăm dreapta care unește punctele \({A(-2, 0)}\) și \({B(0, 4)}\); această dreaptă este graficul funcției


  • Graficul funcției f(x) = 2x + 4, definită pe R cu valori în R






Varianta 2

  • alegem două numere \({x_1}\) și \({x_2}\) din domeniul de definiție, în cazul nostru numere reale

  • calculăm \({f(x_1)}\) și \({f(x_2)}\)

  • obținem punctele \({A(x_1, f(x_1))}\) și \({B(x_2, f(x_2))}\) pe care le reprezentăm în sistemul de coordonate xOy

  • desenăm dreapta care trece prin punctele \({A(x_1, f(x_1))}\) și \({B(x_2, f(x_2))}\); această dreaptă este graficul funcției


Cazuri particulare

  • \({f:\textcolor{orangered}{\mathbf{R}} \rightarrow \mathbf{R}}\), \({f(x) = ax}\)

    • graficul este o dreaptă care trece prin originea O a sistemului xOy

    • de exemplu, graficul funcției \({f:\textcolor{orangered}{\mathbf{R}} \rightarrow \mathbf{R}}\), \({f(x) = 3x}\)

    • pentru \({x = 0}\) obținem \({f(0) = 0}\), deci avem punctul \({O(0, 0)}\) (originea)

    • pentru \({x = 1}\) obținem \({f(1) = 3}\), deci avem punctul \({A(1, 3)}\)

    • dreapta care trece prin punctele \({O(0, 0)}\) și \({A(1, 3)}\) este graficul funcției


    • Graficul funcției f(x) = 2x + 4, definită pe R cu valori în R


  • \({f:\textcolor{orangered}{\mathbf{R}} \rightarrow \mathbf{R}}\), \({f(x) = x}\)

    • graficul este o dreaptă care trece prin originea O a sistemului xOy; se numește prima bisectoare (este bisectoare a unghiului xOy)

    • Graficul funcției f(x) = x trece prin origine; se numește prima bisectoare


  • \({f:\textcolor{orangered}{\mathbf{R}} \rightarrow \mathbf{R}}\), \({f(x) = -x}\)

    • graficul este o dreaptă care trece prin originea O a sistemului xOy; se numește a doua bisectoare (este bisectoare a unghiului x'Oy)

    • Graficul funcției f(x) = -x trece prin origine; se numește a doua bisectoare


  • \({f:\textcolor{orangered}{\mathbf{R}} \rightarrow \mathbf{R}}\), \({f(x) = b}\)

    • graficul este o dreaptă care trece prin punctul \({A(0, b)}\) și este paralelă cu axa Ox

    • exemplu:

    • Graficul funcției constante f(x) = b