Memorator

Geometrie plană











Triunghiul echilateral este triunghiul care are toate laturile congruente (egale).

  • triunghiul echilateral este un triunghi isoscel în care baza este congruentă (egală) cu celelalte două laturi;
  • orice latură a triunghiului echilateral este bază a acestuia;
  • fiind un triunghi isoscel special, păstrează toate proprietățile triunghiului isoscel.




Proprietăți

  • Laturile sunt congruente (egale).
  • Unghiurile sunt congruente (egale) și au măsura de 60o.
  • Triunghiul echilateral este triunghiul care are toate laturile congruente (egale).

  • Bisectoarele unghiurilor triunghiului echilateral sunt în același timp înălțimi și mediane și sunt congruente (egale).
  • Centrul cercului înscris în triunghiul echilateral este totodată centrul cercului circumscris acestuia, ortocentru și centru de greutate.
  • Bisectoarele unghiurilor triunghiului echilateral sunt în același timp înălțimi și mediane și sunt congruente (egale); centrul cercului înscris în triunghiul echilateral este totodată centrul cercului circumscris acestuia, ortocentru și centru de greutate.


  • Triunghiul echilateral are 3 axe de simetrie, acestea fiind medianele celor trei laturi (în triunghiul echilateral, medianele sunt și înălțimi, deci mediatoare).




Cum desenăm un triunghi echilateral

  • desenăm un segment care va fi o latură a triunghiului echilateral; notăm capetele, de exemplu cu B și C; avem astfel latura BC a triunghiului echilateral ABC;
  • măsurăm lungimea acestei laturi; celelalte două laturi vor avea aceeași lungime;
  • stabilim mijlocul laturii BC;
  • prin mijlocul laturii BC ducem perpendiculara pe aceasta - mediatoarea laturii BC;
  • alegem punctul A pe mediatoarea segmentului astfel încât AC să fie egală cu BC;
  • unim punctul A cu B și cu C și obținem un triunghi echilateral ABC.

Cum arătăm că un triunghi este echilateral

  • Arătăm că laturile sunt congruente (egale).
  • Arătăm că unghiurile sunt congruente (egale).
  • Arătăm că e triunghi isoscel cu un unghi de 60o.
  • Arătăm că cele trei bisectoare sunt congruente.
  • Arătăm că cele trei mediane sunt congruente.
  • Arătăm că cele trei înălțimi sunt congruente.
  • Arătăm că două dintre cele patru puncte importante (centrul cercului înscris în triunghi, centrul cercului circumscris triunghiului, centru de greutate, ortocentru) coincid.
  • Arătăm că două bisectoare sunt și mediane (sau înălțimi).
  • Arătăm că două mediane sunt și bisectoare (sau înălțimi).
  • Arătăm că două înălțimi sunt și mediane (sau bisectoare).


Formule

triunghi echilateral - înălțime, bisectoare, mediană, perimetru, arie

  • înălțimea, mediana, bisectoarea triunghiului echilateral sunt egale:
  • \({h= \sqrt {\frac{\displaystyle 3a^2}{\displaystyle 4}}}\)

  • perimetrul triunghiului echilateral:
  • \({P = 3a}\)

  • aria triunghiului echilateral:
  • \({A= \frac{\displaystyle a \cdot h}{\displaystyle 2}}\)

    \({A= \frac{\displaystyle a^2\sqrt {3}}{\displaystyle 4}}\)