Memorator

Geometrie plană











Teorema înălțimii. Teorema catetei

Cele două teoreme reprezintă relații între elementele unui triunghi dreptunghic (relațiile între catete, ipotenuză, proiecțiile catetelor pe ipotenuză). Aceste relațiile se numesc relații metrice.


Relații metrice






Teorema înălțimii

  • Într-un triunghi dreptunghic, lungimea înălțimii duse din vârful unghiului drept este medie geometrică între segmentele determinate de ea pe ipotenuză.

  • Teorema înălțimii


    Ipoteză:

    \({\triangle ABC}\), \({\sphericalangle A=90^{\circ}}\)

    \({AD \perp BC}\), \({D \in BC}\)

    Concluzie:

    \({AD^2 = BD \cdot CD}\)


    Putem scrie \({AD^2 = BD \cdot CD}\) sau \({AD = \sqrt{BD \cdot CD}}\) sau \({\frac{\displaystyle AD}{\displaystyle CD}=\frac{\displaystyle BD}{\displaystyle AD}}\) (AD este media geometrică a segmentelor BD și CD).


  • Reciproca teoremei înălțimii: Fie triunghiul \({ABC}\) și \({AD}\) înălțime, cu \({D \in (BC) }\) (\({D}\) în interiorul segmentului \({BC}\)). Dacă \({AD^2= BD \cdot CD }\), atunci triunghiul \({ABC}\) este dreptunghic în \({A}\).




Teorema catetei

  • Într-un triunghi dreptunghic, lungimea unei catete este medie geometrică între lungimea ipotenuzei și lungimea proiecției acelei catete pe ipotenuză.

  • Teorema înălțimii


    Ipoteză:

    \({\triangle ABC}\), \({\sphericalangle A=90^{\circ}}\)

    \({AD \perp BC}\), \({D \in BC}\)

    Concluzie:

    \({AB^2 = BD \cdot BC}\)

    \({AC^2 = CD \cdot BC}\)



  • Reciproca teoremei catetei: Fie triunghiul \({ABC}\) și \({AD}\) înălțime, cu \({D \in (BC) }\) (\({D}\) în interiorul segmentului \({BC}\)). Dacă este adevărată una dintre relațiile \({AB^2 = BD \cdot BC}\) sau \({AC^2 = CD \cdot BC}\), atunci triunghiul \({ABC}\) este dreptunghic în \({A}\).