Memorator

Geometrie plană











Proiecții ortogonale

Proiecția unui punct pe o dreaptă

  • dintr-un punct putem duce o singură perpendiculară pe o dreaptă.
  • proiecția ortogonală a unui punct pe o dreaptă este piciorul perpendicularei din acel punct pe dreapta respectivă.
    • Fie \({A}\) un punct și \({d}\) o dreaptă. Din \({A}\) ducem perpendiculara pe dreapta \({d}\). Această perpendiculară întâlnește dreapta \({d}\) într-un punct pe care-l notăm cu \({A'}\).
    • Punctul \({A'}\) se numește piciorul perpendicularei duse din \({A}\) pe dreapta \({d}\).

    • Punctul \({A'}\) este proiecția punctului \({A}\) pe dreapta \({d}\).

    • Scriem \({pr_{\displaystyle d}A=A'}\) și citim „proiecția punctului \({A}\) pe dreapta \({d}\) este punctul \({A'}\) ”.

    • Dacă \({AA' \perp d}\) și \({A' \in d}\), atunci \({A'=pr_{\displaystyle d}A}\).

    Proiecția unui punct pe o dreaptă.

    Punctul \({A'}\) este proiecția punctului \({A}\) pe dreapta \({d}\).


    \({pr_{\displaystyle d}A = A'}\)





Proiecția unui segment pe o dreaptă este proiecția tuturor punctelor de pe segment pe acea dreaptă.

  • Cum determinăm proiecția unui segment pe o dreaptă: proiectăm capetele segmentului pe dreaptă. Segmentul determinat de aceste proiecții este segmentul căutat.
  • Fie \({AB}\) un segment și \({d}\) o dreaptă care nu include segmentul \({AB}\).
  • Fie \({A'}\) proiecția punctului \({A}\) pe dreapta \({d}\) și \({B'}\) proiecția punctului \({B}\) pe dreapta \({d}\).

  • \({pr_{\displaystyle d}A = A'}\) și \({pr_{\displaystyle d}B = B'}\)


    • dacă segmentul \({AB}\) este perpendicular pe dreapta \({d}\), atunci proiecția lui pe dreaptă este un punct (punctele \({A'}\) și \({B'}\) coincid).
    • Proiecția pe o dreaptă a unui segment perpendicular cu aceasta.

      Dacă \({AB \perp d}\) și \({AB \cap d= \{ A' \}}\), atunci punctul \({A'}\) este proiecția segmentului \({AB}\) pe dreapta \({d}\).

      \({pr_{\displaystyle d}AB = A'}\)


  • dacă segmentul \({AB}\) este paralel cu dreapta \({d}\), atunci proiecția lui pe dreaptă este segmentul \({A'B'}\) (și \({AB=A'B'}\)).
  • Proiecția pe o dreaptă a unui segment paralel cu aceasta.

    Dacă \({AB \parallel d}\), atunci segmentul \({A'B'}\) este proiecția segmentului \({AB}\) pe dreapta \({d}\).

    \({pr_{\displaystyle d}AB = A'B'}\)

    \({AB = A'B'}\)





  • dacă segmentul \({AB}\) este oblic față de dreapta \({d}\), atunci proiecția lui pe dreaptă este segmentul \({A'B'}\) (și \({A'B' < AB}\)).
  • Proiecția pe o dreaptă a unui segment oblic față de aceasta.

    Segmentul \({A'B'}\) este proiecția segmentului \({AB}\) pe dreapta \({d}\).

    \({pr_{\displaystyle d}AB = A'B'}\)

    \({A'B' < AB}\)

  • dacă \({A \in d}\), atunci proiecția segmentului \({AB}\) pe dreapta \({d}\) este segmentul \({AB'}\) (și \({AB' < AB}\)).
  • Proiecția unui segment pe o dreaptă.

    Dacă \({A \in d}\), atunci segmentul \({AB'}\) este proiecția segmentului \({AB}\) pe dreapta \({d}\).

    \({pr_{\displaystyle d}AB = AB'}\)

    \({AB' < AB}\)





Proiecția unei figuri geometrice pe o dreaptă este un segment ale cărui capete sunt proiecțiile extremităților figurii geometrice pe dreapta respectivă.

  • proiecția unui triunghi pe o dreaptă:

  • Proiecția unui triunghi pe o dreaptă.


  • proiecția unui pătrat pe o dreaptă (\({AD}\), \({BC}\) și \({d}\) sunt paralele):

  • Proiecția unui pătrat pe o dreaptă.


  • proiecția unui cerc pe o dreaptă (\({AB}\) este diametru paralel cu dreapta \({d}\)):

  • Proiecția unui cerc pe o dreaptă.


  • proiecția unui hexagon pe o dreaptă:

  • Proiecția unui hexagon pe o dreaptă.