Memorator

Geometrie plană











Poligoane regulate

Poligonul regulat este este un poligon convex care are laturile congruente și unghiurile congruente (egale).

  • triunghiul echilateral este poligonul regulat cu 3 laturi;
  • pătratul este poligonul regulat cu 4 laturi;
  • unghiurile unui poligon regulat au măsura egală cu \({\frac{\displaystyle (n-2) \cdot 180^{\circ} }{\displaystyle n}}\), unde \({n}\) este numărul laturilor poligonului regulat
    • triunghiul echilateral are unghiurile de \({60^{\circ}}\)
    • pătratul are unghiurile de \({90^{\circ}}\)
    • pentagonul regulat are unghiurile de \({108^{\circ}}\)
    • hexagonul regulat are unghiurile de \({120^{\circ}}\)


Poligoane regulate





Orice poligon regulat se poate înscrie într-un cerc.

  • cercul respectiv este circumscris poligonului;
  • centrul cercului circumscris poligonului regulat se află la intersecția mediatoarelor laturilor poligonului;
  • apotema poligonului este distanța de la centrul cercului circumscris poligonului la mijlocul laturii acestuia (apotema este perpendiculara dusă din centrul cercului circumscris pe latura poligonului); se poate nota cu \({ap}\).
  • Apotema


Latura, apotema și aria poligonului regulat în funcție de raza cercului circumscris acestuia

\({n}\) - numărul laturilor poligonului regulat

\({R}\) - raza cercului circumscris poligonului regulat

\({\text{latura poligon regulat} = 2R \; \text{sin} \;\frac{\displaystyle 180^{\circ}}{\displaystyle n}}\)

\({\text{apotema poligon regulat} = R \; \text{cos} \;\frac{\displaystyle 180^{\circ}}{\displaystyle n}}\)


\({\text{aria poligon regulat} = \frac{\displaystyle perimetru \cdot apotema }{\displaystyle 2}}\)

\({\textcolor{white}{aria poligon regulat} = semiperimetru \cdot apotema}\)


\({\text{aria poligon regulat} = nR^2 \; \text{sin} \;\frac{\displaystyle 180^{\circ}}{\displaystyle n} \;\text{cos} \;\frac{\displaystyle 180^{\circ}}{\displaystyle n}}\)


  • aria triunghiului echilateral:
  • \({\text{Aria} = \frac{\displaystyle 3R^2\sqrt{3}}{\displaystyle 4}}\)

  • aria pătratului:
  • \({\text{Aria} =2R^2}\)

  • aria hexagonului regulat:
  • \({\text{Aria} = \frac{\displaystyle 3R^2\sqrt{3}}{\displaystyle 2}}\)





Triunghiul echilateral


Triunghi echilateral - raza cercului circumscris, apotema

N - mijlocul laturii BC

\({\text{R} = \frac{\displaystyle l\sqrt{3}}{\displaystyle 3}}\)

\({\text{ap} = \frac{\displaystyle l\sqrt{3}}{\displaystyle 6}}\)

\({\text{Aria } = \frac{\displaystyle l^2 \sqrt{3}}{\displaystyle 4}}\)


Pătratul


Pătratul - raza cercului circumscris, apotema

P - mijlocul laturii EF

\({\text{R} = \frac{\displaystyle l\sqrt{2}}{\displaystyle 2}}\)

\({\text{ap} = \frac{\displaystyle l}{\displaystyle 2}}\)

\({\text{Aria } = l^2}\)


Hexagonul regulat


Hexagon regulat - raza cercului circumscris, apotema

Q - mijlocul laturii IJ

\({\text{R} = l}\)

\({\text{ap} = \frac{\displaystyle l\sqrt{3}}{\displaystyle 2}}\)

\({\text{Aria } = \frac{\displaystyle 3\sqrt{3} \cdot l^2}{\displaystyle 2}}\)