Memorator

Geometrie plană











Cercul înscris în triunghi

  • centrul său se află la intersecția bisectoarelor unghiurilor triunghiului;
  • centrul său poate fi stabilit prin trasarea a două dintre bisectoarele unghiurilor triunghiului;
  • centrul său se află întotdeauna în interiorul triunghiului;
  • laturile triunghiului sunt tangente la cerc (nu prelungirile acestora);
  • fie triunghiul \({ABC}\) și \({AA'}\), \({BB'}\), \({CC'}\) bisectoarele unghiurilor sale, cu \({A' \in BC}\), \({B' \in AC}\) și \({C' \in AB}\). Bisectoarele se intersectează în punctul \({I}\), acesta fiind centrul cercului înscris în triunghiul \({ABC}\).

  • Pentru a putea desena cercul înscris în triunghiul \({ABC}\), avem nevoie să determinăm 3 puncte de pe acest cerc.

    Știm că laturile triunghiului sunt tangente la cerc, deci laturile triunghiului sunt perpendiculare pe raze în punctele de tangență. Explicăm: fie \({D}\), \({E}\) și \({F}\) punctele în care se intersectează triunghiul și cercul înscris în el. Rezultă că razele \({ID}\), \({IE}\) și \({IF}\) sunt perpendiculare pe laturile \({BC}\), \({AC}\) și \({AB}\).


    Centrul cercului înscris în triunghi se află la intersecția bisectoarelor triunghiului.


    Pentru a putea desena cercul înscris în triunghiul \({ABC}\), ducem perpendiculare din centrul cercului pe laturile triunghiului. Fie \({ID \perp BC}\), \({IE \perp AC}\) și \({IF \perp AB}\) (cu \({D \in BC}\), \({E \in AC}\) și \({F \in AB}\)). Punctele \({D}\), \({E}\) și \({F}\) sunt puncte de tangență, ele aparțin și triunghiului \({ABC}\), și cercului înscris în acest triunghi.

    Avem \({ID=IE=IF=r}\) (raze ale cercului înscris în triunghiul \({ABC}\)).

    !!! Observăm că segmentele \({IA'}\), \({IB'}\) și \({IC'}\) nu sunt raze ale cercului înscris în triunghiul \({ABC}\) (punctele \({A'}\), \({B'}\) și \({C'}\) sunt pe laturile triunghiului, dar nu sunt pe cercul înscris în acesta).

    Distanțele de la centrul cercului înscris în triunghi la laturile acestuia sunt egale cu raza acestui cerc.

    Triunghiul cu vârfurile în punctele de tangență se numește triunghi de contact (triunghiul DEF).






Raza cercului înscris în triunghi:

Fie \({a}\), \({b}\), \({c}\) laturile triunghiului ABC, \({p}\) semiperimetrul triunghiului, \({r}\) raza cercului înscris în triunghi, \({R}\) raza cercului circumscris triunghiului.

\({p=\frac{\displaystyle a+b+c}{\displaystyle 2}}\)

  • în funcție de aria și laturile triunghiului:
  • \({r=\frac{\displaystyle Aria}{\displaystyle p}}\)

  • în funcție de unghiurile triunghiului și de raza cercului circumscris acestuia:
  • \({r=4R \; \text{sin}\frac{\displaystyle A}{\displaystyle 2} \; \text{sin}\frac{\displaystyle B}{\displaystyle 2} \; \text{sin}\frac{\displaystyle C}{\displaystyle 2}}\)

  • în funcție de laturile și tangentele unghiurilor triunghiului:
  • \({r=(p-a) \; \text{tg}\frac{\displaystyle A}{\displaystyle 2}}\)

    \({\textcolor{white}{r}=(p-b) \; \text{tg}\frac{\displaystyle B}{\displaystyle 2}}\)

    \({\textcolor{white}{r}=(p-c) \; \text{tg}\frac{\displaystyle C}{\displaystyle 2}}\)

  • în funcție de laturile și cotangentele unghiurilor triunghiului:
  • \({r=\frac{\displaystyle p-a}{\displaystyle \text{ctg}\frac{\displaystyle A}{\displaystyle 2}}}\)

    \({\textcolor{white}{r}=\frac{\displaystyle p-b}{\displaystyle \text{ctg}\frac{\displaystyle B}{\displaystyle 2}}}\)

    \({\textcolor{white}{r}=\frac{\displaystyle p-c}{\displaystyle \text{ctg}\frac{\displaystyle C}{\displaystyle 2}}}\)





Fie \({I}\) centrul cercului înscris în triunghiul \({ABC}\).

Centrul cercului înscris în triunghi se află la intersecția bisectoarelor triunghiului.


Avem:

\({m(\sphericalangle AIB)= 90^{\circ}+\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}m(\sphericalangle ACB)}\)

\({m(\sphericalangle BIC)= 90^{\circ}+\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}m(\sphericalangle BAC)}\)

\({m(\sphericalangle AIC)= 90^{\circ}+\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}m(\sphericalangle ABC)}\)


Distanțele de la vârfurile triunghiului la centrul cercului înscris în triunghi:


\({AI=\frac{\displaystyle r}{\displaystyle \text{sin}\frac{\displaystyle A}{\displaystyle 2}}=4R \; \text{sin}\frac{\displaystyle B}{\displaystyle 2} \; \text{sin}\frac{\displaystyle C}{\displaystyle 2}}\)

\({BI=\frac{\displaystyle r}{\displaystyle \text{sin}\frac{\displaystyle B}{\displaystyle 2}}=4R \; \text{sin}\frac{\displaystyle A}{\displaystyle 2} \; \text{sin}\frac{\displaystyle C}{\displaystyle 2}}\)

\({CI=\frac{\displaystyle r}{\displaystyle \text{sin}\frac{\displaystyle C}{\displaystyle 2}}=4R \; \text{sin}\frac{\displaystyle A}{\displaystyle 2} \; \text{sin}\frac{\displaystyle B}{\displaystyle 2}}\)


Distanțele de la vârfurile triunghiului la punctele de tangență:

Distanțele de la vârfurile triunghiului la centrul cercului înscris în triunghi. Centrul cercului înscris în triunghi se află la intersecția bisectoarelor triunghiului.


Fie \({p}\) semiperimetrul triunghiului \({ABC}\).

\({p=\frac{\displaystyle a+b+c}{\displaystyle 2}}\)

\({AE=AF=p-a}\)

\({BD=BF=p-b}\)

\({CD=CE=p-c}\)