Memorator

Geometrie plană











Cercul circumscris triunghiului

  • centrul său este punctul de intersecție a mediatoarelor laturilor triunghiului;
  • este suficient să trasăm două mediatoare pentru a stabili centrul cercului circumscris triunghiului;
  • poziția centrului cercului circumscris triunghiului față de triunghi:
    • este în interiorul triunghiului, dacă acesta este ascuțitunghic:
    • Centrul cercului circumscris triunghiului ascuțitunghic se află în interiorul triunghiului.


    • este în exteriorul triunghiului, dacă acesta este obtuz:
    • Centrul cercului circumscris triunghiului obtuz este în exteriorul triunghiului.


    • este mijlocul ipotenuzei, dacă triunghiul este dreptunghic:
    • Centrul cercului circumscris triunghiului dreptunghic este mijlocul ipotenuzei.


    • distanțele de la vârfurile triunghiului la centrul cercului circumscris sunt egale, fiind raze ale acestui cerc:
    • Fie triunghiul \({ABC}\) și \({O}\) centrul cercului circumscris acestuia.

      Avem: \({AO=BO=CO=R}\), unde \({R}\) este raza cercului circumscris triughiului.

      Dstanțele de la vârfurile triunghiului la centrul cercului circumscris sunt egale, fiind raze ale acestui cerc.






Raza cercului circumscris triunghiului oarecare:


\({R=\frac{\displaystyle abc}{\displaystyle 4A}}\), unde \({a}\), \({b}\) și \({c}\) sunt laturile triughiului și \({A}\) este aria triunghiului.


\({R=\frac{\displaystyle a}{\displaystyle 2 \; \text{sin} \; A} = \frac{\displaystyle b}{\displaystyle 2 \; \text{sin} \; B} =\frac{\displaystyle c}{\displaystyle 2 \; \text{sin} \; C} }\), unde \({a}\), \({b}\) și \({c}\) sunt laturile triughiului.


Raza cercului circumscris triunghiului echilateral:


\({R=\frac{\displaystyle a\sqrt{3}}{\displaystyle 3}}\), unde \({a}\) este latura triughiului echilateral.


Distanțele de la centrul cercului circumscris triunghiului la laturile acestuia:


Fie:

  • \({a}\), \({b}\) și \({c}\) laturile triughiului \({ABC}\);
  • \({O}\) centrul cercului circumscris triughiului \({ABC}\);
  • \({OD \perp BC}\), \({OE \perp AC}\) și \({OF \perp AB}\), cu \({D \in BC}\), \({E \in AC}\) și \({F \in AB}\).
Distanțele de la centrul cercului circumscris triunghiului la laturile acestuia.


\({OD=R \; \text{cos} \; A =\frac{\displaystyle a}{\displaystyle 2 \; \text{sin} \; A} \; \text{cos} \; A= \frac{\displaystyle a}{\displaystyle 2} \; \text{ctg} \; A}\)


\({OE=R \; \text{cos} \; B =\frac{\displaystyle b}{\displaystyle 2 \; \text{sin} \; B} \; \text{cos} \; B= \frac{\displaystyle b}{\displaystyle 2} \; \text{ctg} \; B}\)


\({OF=R \; \text{cos} \; C =\frac{\displaystyle c}{\displaystyle 2 \; \text{sin} \; C} \; \text{cos} \; C= \frac{\displaystyle c}{\displaystyle 2} \; \text{ctg} \; C}\)


În orice triunghi \({ABC}\), centrul cercului circumscris, centrul de greutate și ortocentrul sunt puncte coliniare.


Fie triunghiul \({ABC}\), \({O}\) centrul cercului circumscris, \({I}\) centrul cercului înscris în triunghi, \({R}\) raza cercului circumscris și \({r}\) raza cercului înscris în triunghi. Avem:


\({OI^2=R^2-2Rr}\)