Memorator

Geometrie plană











Paralelogramul este patrulaterul convex care are laturile opuse paralele două câte două.

Paralelogramul este patrulaterul convex cu laturile opuse paralele două câte două.





Proprietăți

  • Laturile opuse sunt congruente (egale) și paralele două câte două.
  • Unghiurile opuse sunt congruente (egale) două câte două.
  • Unghiurile alăturate sunt suplementare (au suma egală cu 180o)
  • Paralelogramul - proprietăți.


  • Diagonalele se înjumătățesc.
  • Unghiurile formate de o diagonală cu laturile opuse sunt egale.
  • Paralelogramul - proprietăți.


  • Punctul de intersecție a diagonalelor este centrul de simetrie al paralelogramului (simetricul fiecărui punct al paralelogramului față de intersecția diagonalelor se află pe paralelogram).




Cum arătăm că un patrulater convex e paralelogram

  • Arătăm că două laturi opuse sunt paralele și congruente (egale).
  • Arătăm că laturile opuse sunt paralele două câte două.
  • Arătăm că laturile opuse sunt congruente (egale) două câte două.
  • Arătăm că unghiurile opuse sunt congruente (egale) două câte două.
  • Arătăm că unghiurile alăturate sunt suplementare două câte două.
  • Arătăm că diagonalele se înjumătățesc.
  • Arătăm că unghiurile formate de fiecare diagonală cu laturile opuse sunt egale.

Aria paralelogramului

Fie paralelogramul ABCD, cu AB paralelă cu CD și AD paralelă cu BC.

  • înălțimea paralelogramului corespunzătoare laturii AD (sau BC) este distanța dintre laturile paralele AD și BC;
  • Înălțimea paralelogramului


  • înălțimea paralelogramului corespunzătoare laturii AB (sau CD) este distanța dintre laturile paralele AB și CD;
  • Înălțimea paralelogramului


  • aria paralelogramului este egală cu produsul dintre lungimea unei laturi și înălțimea corespunzătoare:

  • Aria paralelogramului

    \({Aria = BC \cdot h_1}\)

    \({\textcolor{white}{Aria}=AD \cdot h_1}\)

    \({\textcolor{white}{Aria}=AB \cdot h_2}\)

    \({\textcolor{white}{Aria}=CD \cdot h_2}\)

  • alte formule pentru aria paralelogramului:
    • fie \({d_1}\) și \({d_2}\) diagonalele paralelogramului;
    • fie \({α}\) unghiul ascuțit dintre diagonalele paralelogramului;
    • fie \({β}\) unghiul ascuțit dintre laturile paralelogramului.

    • Aria paralelogramului


      \({Aria \; paralelogram= a \cdot b \cdot \text{sin} \; β }\)


      \({Aria \; paralelogram= \frac {\displaystyle d_1 \cdot d_2 \cdot \text{sin} \; α}{\displaystyle 2}}\)





Perimetrul paralelogramului

Fie paralelogramul ABCD, cu AB paralelă cu CD și AD paralelă cu BC.

  • perimetrul paralelogramului este egal cu suma lungimilor laturilor acestuia:

  • \({P_{ABCD}= AB + BC+CD+AD}\)

    \({\textcolor{white}{P_{ABCD}}=2AB + 2AD }\)

    \({\textcolor{white}{P_{ABCD}}=2(AB + AD) }\)