Memorator

Geometrie plană











Segmente proporționale. Teorema paralelelor echidistante


Numere direct proporționale (pe scurt, numere proporționale)


  • numerele reale \({a_1}\), \({a_2}\), \({...}\), \({a_n}\) sunt proporționale cu numerele reale \({b_1}\), \({b_2}\), \({...}\), \({b_n}\) dacă:

  • \({\frac{\displaystyle a_1}{\displaystyle b_1}=\frac{\displaystyle a_2}{\displaystyle b_2}=...=\frac{\displaystyle a_n}{\displaystyle b_n}=k}\)


    Valoarea \({k}\) se numește factor de proporționalitate sau raport de proporționalitate.

Raportul a două segmente înseamnă raportul lungimilor lor, folosindu-se aceeași unitate de măsură.

Segmente proporționale

  • segmentele \({A_1B_1}\), \({A_2B_2}\), \({...}\), \({A_nB_n}\) sunt proporționale cu segmentele \({C_1D_1}\), \({C_2D_2}\), \({...}\), \({C_nD_n}\) dacă:

  • \({\frac{\displaystyle A_1B_1}{\displaystyle C_1D_1}=\frac{\displaystyle A_2B_2}{\displaystyle C_2D_2}=...=\frac{\displaystyle A_nB_n}{\displaystyle C_nD_n}=k}\)

  • de exemplu, segmentele determinate de vârfurile unui triunghi cu centrul de greutate G sunt proporționale cu segmentele determinate de centrul de greutate și mijloacele laturilor:
  • Segmentele determinate de vârfurile unui triunghi ABC cu centrul de greutate G sunt proporționale cu segmentele determinate de centrul de greutate și mijloacele laturilor.





Oricare ar fi numărul real pozitiv \({k}\), putem alege un singur punct \({C}\) pe segmentul \({AB}\) astfel încât \({\frac{\displaystyle AC}{\displaystyle BC}=k}\).

  • spunem că punctul \({C}\) împarte segmentul \({AB}\) în raportul \({k}\);

  • Punctul C împarte segmentul AB în raportul k.


  • punctul \({C}\) este la distanța \({\frac{\displaystyle k}{\displaystyle k+1}AB}\) de punctul \({A}\);
  • dacă \({k=1}\), atunci punctul \({C}\) este mijlocul segmentului \({AB}\).

  • Punctul C împarte segmentul AB în raportul k=1.


Oricare ar fi numărul real pozitiv \({k \neq 1}\), putem alege un singur punct \({C}\) în exteriorul segmentului \({AB}\), pe dreapta suport a acestuia, astfel încât \({\frac{\displaystyle AC}{\displaystyle BC}=k}\).

  • pentru \({k>1}\) obținem o fracție supraunitară, deci \({AC>BC}\); cum \({C}\) este în exteriroul segmentului \({AB}\), înseamnă că ordinea punctelor este \({A-B-C}\);
    • punctul \({C}\) este pe semidreapta opusă semidreptei \({BA}\), la distanța \({\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle k-1}AB}\) de punctul \({B}\)

    Punctul C împarte segmentul AB în raportul k.


  • pentru \({0 < k < 1}\), \({k=\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle n}}\), \({n}\) număr natural, obținem o fracție subunitară, deci \({AC < BC}\); cum \({C}\) este în exteriroul segmentului \({AB}\), înseamnă că ordinea punctelor este \({C-A-B}\).
    • punctul \({C}\) este pe semidreapta opusă semidreptei \({AB}\), la distanța \({\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle n-1}AB}\) de punctul \({A}\)

    Punctul C împarte segmentul AB în raportul k.






Trei sau mai multe drepte paralele se numesc paralele echidistante dacă distanța dintre oricare două alăturate este mereu aceeași.

  • trei sau mai multe drepte paralele sunt echidistante dacă determină pe o secantă segmente congruente;
  • Paralele echidistante


  • distanța dintre două drepte paralele este egală cu distanța de la oricare punct al uneia dintre ele la cealaltă;
  • distanța dintre dreptele paralele \({d_1}\) și \({d_2}\) este egală cu lungimea segmentului \({AB}\), unde \({AB }\) este perpendicular pe \({d_1 }\) și pe \({d_2 }\), \({A \in d_1 }\) și \({B \in d_2 }\).

  • Distanța dintre două drepte paralele este egală cu distanța de la oricare punct al uneia dintre ele la cealaltă.





Teorema paralelelor echidistante

Dacă mai multe drepte paralele determină pe o secantă segmente congruente, atunci ele determină pe orice secantă segmente congruente.


Teorema paralelelor echidistante - Dacă mai multe drepte paralele determină pe o secantă segmente congruente, atunci ele determină pe orice secantă segmente congruente.