Rezolvăm - ultima cifră a unei puteri

1) Calculăm primele puteri ale lui 2 și încercăm să facem o legătură între ultimele cifre ale acestora. În momentul în care ultima cifră se repetă, ne oprim. Ultima cifră a lui 2⁵ este 2, egală cu ultima cifră a lui 2². Am obținut toate informațiile de care avem nevoie și nu mai calculăm alte puteri ale lui 2.

Nu calculăm alte puteri ale lui 2 și nu calculăm puterile în altă ordine pentru că nu ne-ar aduce nici un fel de informații folositoare. Nu aflăm nimic calculând, de exemplu, 2³, 2⁵, 2².

2) Observăm că ultimele cifre sunt 2, 4, 8 și 6. Acest grup de 4 cifre se repetă. Împărțim exponentul puterii la numărul cifrelor care se repetă și aflăm de câte ori se repetă acest grup de ultime cifre.

3) Restul împărțirii este cel care ne indică ultima cifră a puterii. Câtul împărțirii ne spune de câte ori se repetă întregul grup de cifre, iar restul ne arată locul ultimei cifre în grup. Dacă restul e 0, atunci ultima cifră a puterii e ultima cifră din grup. Dacă restul e 1, ultima cifră a puterii e prima din grup, dacă restul e 2, ultima cifră a puterii e a doua din grup etc.

Atenție! Restul unei împărțiri trebuie să fie mai mic decât împărțitorul!

4) Putem calcula ultima cifră a lui 2¹⁰ folosind regulile de calcul cu puteri. Exponentul 10 poate fi scris ca 2 înmulțit cu 5, deci 2¹⁰ este egal cu 2^2*5, adică (2²)⁵. Putem astfel calcula ultima cifră a lui 4⁵, pentru că 2² este egal cu 4.

Observăm că 2¹⁰ este egal și cu (2⁵)², adică 32² care are ultima cifră egală cu 4 pentru că 2² este 4.

2¹ = 2

2² = 4

2³ = 8

2⁴ = 16

__________

2⁵ = 32

10 : 4 = 2 rest 2

Avem un grup de 4 cifre care se repetă. Acestea sunt: 2, 4, 8 și 6.

Ultima cifră a puterii 2¹⁰ este 4.

3¹ = 3

3² = 9

3³ = 27

3⁴ = 81

__________

2⁵ = 243

Se repetă un grup de patru cifre: 3, 9, 7 și 1. Efectuăm împărțirea:

18 : 4 = 4 rest 2,

unde 18 este exponentul puterii 3¹⁸, iar 4 este numărul cifrelor care se repetă.

Restul este 2, deci ultima cifră a lui 3¹⁸ este a doua din grupul cifrelor care se repetă, adică ultima cifră a lui 3¹⁸ este 9.

7¹ = 7

7² = 49

7³ = 343

3⁴ = 2401

__________

2⁵ = 16807

Se repetă un grup de patru cifre: 7, 9, 3 și 1. Efectuăm împărțirea:

20 : 4 = 5 rest 0,

unde 20 este exponentul puterii 7²⁰, iar 4 este numărul cifrelor care se repetă.

Restul este 0, deci ultima cifră a lui 7²⁰ este ultima din grupul cifrelor care se repetă, adică ultima cifră a lui 7²⁰ este 1.

4¹ = 4

4² = 16

__________

4³ = 64

Observăm că ultima cifră se repetă și ne oprim. Aici a greșit Andreea. Se repetă două cifre, 4 și 6. Exponentul 23 îl împărțim la 2 și obținem 11 rest 1. Restul 1 ne indică faptul că ultima cifră a lui 4³ este 4, prima cifră din grupul care se repetă.

a) u(2¹) = u(2⁵)= u(2⁹) = u(2¹³) = u(2¹⁷) = 2

b) u(2²) = u(2⁶)= u(2¹⁰) = u(2¹⁴) = u(2¹⁸) = 4

c) u(2³) = u(2⁷)= u(2¹¹) = u(2¹⁵) = u(2¹⁹) = 8

d) u(2⁴) = u(2⁸)= u(2¹²) = u(2¹⁶) = u(2²⁰) = 6

O posibilă rezolvare e aceasta (avem o infinitate de posibilități):

a) Știm de la tabla înmulțirii că 3 înmulțit cu 9 este 27, adică 3 înmulțit cu el însuși de 3 ori este egal cu 27. Deci 3³ este egal cu 27 și are ultima cifră 7.

u(3³) = 7

Să vedem celălalt exemplu. Ultima cifră a puterilor lui 3 se repetă din 4 în 4:

Sunt patru cifre care se repetă: 3, 9, 7 și 1. Se repetă din 4 în 4; înseamnă că toate puterile lui 3 care au exponentul de forma 3 + 4k, unde k este număr natural, au ultima cifră egală cu 7. Altfel spus, dacă împărțim exponentul la 4 și obținem restul 3, atunci ultima cifră a puterii este 7 (restul 3 ne indică a treia cifră din grupul cifrelor care se repetă 3, 9, 7 și 1, adică cifra 7).

Mai avem de dat un exemplu de putere a lui 3 care are ultima cifră 7. Pentru asta, alegem o valoare pentru k. Alegem k egal cu 5 și obținem 3 + 4*5, adică 23. Deci 3²³ are ultima cifră egală cu 7.

b) Pentru subpunctul b) procedăm la fel. Două exemple posibile sunt acestea:

u(7²) = u(7¹⁸) = 9

c) Și pentru subpunctul c) procedăm la fel. Ultimele cifre care se repetă sunt 9 și 1; ultima cifră a puterilor lui 9 se repetă din 2 în 2, deci toate puterile lui 9 care au exponentul de forma 2k (k număr natural) au ultima cifră egală cu 1. Două exemple sunt următoarele (pentru k = 1 și k = 17)

u(9²) = u(9³⁴) = 1

a) Dacă exponentul este 0, atunci puterea este egală cu 1, indiferent care este baza puterii. Înseamnă că 2⁰ este egal cu 1 și ultima cifră este deci 1.

b) Cuvintele „oricum am alege exponentul” înseamnă că exponentul poate fi orice număr; trebuie să vedem cum alegem baza puterii astfel încât ultima cifră să rămână aceeași.

Primul caz: puterea cu baza 0 și orice exponent va fi egală cu 0 și deci ultima cifră va fi 0. Înseamnă că dacă baza are cifra unităților egală cu 0, atunci ultima cifră a puterii va fi 0, indiferent de exponent.

Cazul al doilea: 1 ridicat la orice putere este 1. Astfel, dacă baza are cifra unităților 1, ultima cifră a puterii este 1, indiferent de exponent.

Cazul al treilea: 5 la orice putere ne dă un număr cu ultima cifră egală cu 5. Înseamnă că baza poate fi orice număr cu cifra unităților egală cu 5.

Al patrulea caz: dacă baza este 6, atunci ultima cifră a puterii este 6, indiferent de exponent. Înseamnă că baza poate fi orice număr care are cifra unităților 6.

Puterile lui 0 (sau 10 sau 100 sau 1000 etc. - cifra unităților să fie 0) au ultima cifră 0.

Puterile lui 1 (sau 11 sau 21 sau 131 sau 110001 etc. - cifra unităților să fie 1) au ultima cifră 1.

Puterile lui 5 (sau 15 sau 105 sau 265 etc. - cifra unităților să fie 5) au ultima cifră 5.

Puterile lui 6 (sau 16 sau 126 sau 136 sau 7506 etc. - cifra unităților să fie 6) au ultima cifră 6.

2³ înseamnă 2 înmulțit cu el însuși de trei ori, adică 2 înmulțit cu 2 înmulțit cu 2. 12³ înseamnă 12 înmulțit cu el însuși de trei ori, adică 12 înmulțit cu 12 înmulțit cu 12. Pe noi ne interesează doar ultima cifră a celor două puteri, adică ultima cifră a celor două produse. Ultima cifră a produsului 12 înmulțit cu 12 înmulțit cu 12 este dată de produsul 2 înmulțit cu 2 înmulțit cu 2.

a) Atunci când bazele puterii au aceeași cifră a unităților și exponenții sunt egali, ultimele cifre ale puterilor sunt egale. Astfel, ultima cifră a lui 27⁶ este egală cu ultima cifră a lui 7⁶, pentru că bazele 27 și 7 au aceeași cifră a unităților (egală cu 7), iar exponenții sunt egali (cu 6).

b) Bazele 32 și 242 au aceeași cifră a unităților (egală cu 2), iar exponenții sunt egali (ambii sunt 103).

c) Atunci când ultima cifră a bazei este 5, ultima cifră a puterii este 5. Dacă ultima cifră a bazei este 6, atunci ultima cifră a puterii este 6. Nu contează exponentul în aceste cazuri.

d) Puterile au aceeași bază egală cu 3, iar exponenții sunt 4 și 6. Când vrem să calculăm ultima cifră a unei puteri cu baza 3, calculăm 3¹, 3², 3³, 3⁴, 3⁵, ... și observăm că ultima cifră se repetă din 4 în 4. Între 6 și 4 diferența este 2, deci puterile nu au ultimele cifre egale. Dacă exponenții ar fi fost 4 și 8 sau 2 și 6, atunci ultimele cifre ale puterilor ar fi fost egale (dacă ultimele cifre se repetă din 4 în 4 și diferența dintre exponenți este 4, atunci ultimele cifre ale celor două puteri sunt egale).

e) Dacă baza are ultima cifră (cifra unităților) egală cu 0, atunci ultima cifră a puterii este 0.

f) Explicația este asemănătoare cu cea de la subpunctul d). Puterile au baza 2, calculăm primele puteri ale lui 2 și observăm că ultima cifră se repetă din 4 în 4. Adică ultima cifră a lui 2¹ este egală cu ultima cifră a lui 2⁵ este egală cu ultima cifră a lui 2⁹ etc. (pentru că 5 = 1 + 4, 9 = 5 + 4), ultima cifră a lui 2² este egală cu ultima cifră a lui 2⁶ este egală cu ultima cifră a lui 2¹⁰ etc. (pentru că 6 = 2 + 4, 10 = 6 + 4). Deci ultima cifră a lui 2¹⁷ este egală cu ultima cifră a lui 2²¹ pentru că 21 este egal cu 17 + 4.

g) Explicația este aceeași cu cea de la subpunctul c). Ambele baze au cifra unităților egală cu 5, deci ultima cifră a fiecărei puteri este 5.

a) Dacă baza are cifra unităților 5, atunci ultima cifră a puterii este 5. Prima putere este 5⁴⁴, are baza 5 deci ultima cifră a puterii este 5.

Înseamnă că pentru a doua putere trebuie să alegem o bază care are ultima cifră (cifra unităților) egală cu 5 (de exemplu, 105 sau 75).

b) Prima putere 21¹⁷ are baza 21, ultima cifră a bazei este 1 deci ultima cifră a puterii este 1 (pentru că 1 ridicat la orice putere ne dă tot 1).

Înseamnă că pentru a doua putere trebuie să alegem o bază care are ultima cifră (cifra unităților) egală cu 1 (de exemplu, 11 sau 101).

c) Prima putere 12⁴ are baza 12; cifra unităților bazei este 2, deci ultima cifră a lui 12⁴ este egală cu ultima cifră a lui 2⁴, de fapt, este egală cu ultima cifră a oricărei puteri care are baza 2 și exponentul 4.

Suntem astfel tentați să completăm exponentul 4, dar citim condiția suplimentară care nu ne dă voie să alegem acest exponent.

De la exercițiile anterioare știm că puterile lui 2 se repetă din 4 în 4. Înseamnă că puterile 2⁴, 2^{4 + 4}, 2^{4 + 4 + 4}, 2^{4 + 4 + 4 + 4} etc. au aceeași ultimă cifră. Astfel exponentul căutat poate fi 8, 12, 16, 20, 24, 28 etc.

d) Cel mai mic exponent căutat este 4 (vezi explicația de la subpunctul c)).